Question

1．設(shè)雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右焦點為F，右頂點為A，過F作AF的垂線與雙曲線的兩條漸近線交于B、C兩點，過B、C分別作AC、AB的垂線，兩垂線交于點D．若D到直線BC的距離小于2（a+$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$），則該雙曲線的離心率的取值范圍是（　�。�

• A． （1，2）
• B． （$\sqrt{2}$，2）
• C． （1，$\sqrt{2}$）
• D． （$\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$）

Answer 1

分析 由雙曲線的對稱性知D在x軸上，設(shè)D（x，0），則由BD⊥AB得$\frac{\frac{^{2}}{a}}{c-x}$•$\frac{\frac{^{2}}{a}}{c-a}$=-1，求出c-x，利用D到直線BC的距離小于2（a+$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$），建立不等式關(guān)系，結(jié)合雙曲線離心率的定義，即可得出結(jié)論．

解答 解：由題意，A（a，0），B（c，$\frac{bc}{a}$），C（c，-$\frac{bc}{a}$），由雙曲線的對稱性知D在x軸上，
設(shè)D（x，0），則由BD⊥AC得$\frac{\frac{bc}{a}}{c-x}$•$\frac{\frac{bc}{a}}{a-c}$=-1，
∴c-x=$\frac{^{2}{c}^{2}}{{a}^{2}（c-a）}$，
∵D到直線BC的距離c-x小于2（a+$\sqrt{{a^2}+{b^2}}$），
∴c-x=|$\frac{^{2}{c}^{2}}{{a}^{2}（c-a）}$|＜2（a+$\sqrt{{a^2}+{b^2}}$）=2（a+c），
∴$\frac{^{2}{c}^{2}}{{a}^{2}}$＜2（c²-a²）=2b²，
∴0＜$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$＜2，
則0＜e²＜2，即1＜e＜$\sqrt{2}$，
故選：C

點評 本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，考查三角形的垂心的概念，以及兩直線垂直的條件，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．