Question

4．若實(shí)數(shù)a≥0，b≥1且$\frac{{{4^a}+{4^b}}}{{{2^{a+1}}+{2^{b+2}}-1}}=1$，則2^a+2^b+1的取值范圍為[7，9]．

Answer 1

分析 由已知得（2^a-1）²=2^b（4-2^b）≥0，從而得到1≤b≤2，由此能求出2^a+2^b+1的取值范圍．

解答 解：∵實(shí)數(shù)a≥0，b≥1且$\frac{{{4^a}+{4^b}}}{{{2^{a+1}}+{2^{b+2}}-1}}=1$，
∴（2^a）²+（2^b）²=2×2^a+4×2^b-1，
∴（2^a-1）²=2^b（4-2^b）≥0，
∴4-2^b≥0，
解得1≤b≤2，∴4≤2^b+1≤8，
∵（2^a-1）²=2^b（4-2^b）≥0，
∴b=1時，2^a=3，2^a+2^b+1=7，
b=2時，2^a=1，2^a+2^b+1=9，
∴7≤2^a+2^b+1≤9，
∴2^a+2^b+1的取值范圍為[7，9]．
故答案為：[7，9]．

點(diǎn)評 本題考查有理數(shù)指數(shù)冪代數(shù)和的取值范圍的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認(rèn)真審題，注意有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則的合理運(yùn)用．