Question

12．已知$\overrightarrow a=（-\sqrt{3}sinωx，cosωx）$，$\overrightarrow b=（cosωx，cosωx）$，ω＞0，記函數(shù)f（x）=$\overrightarrow a•\overrightarrow b$，且f（x）的最小正周期為π．
（1）求ω的值；
（2）設(shè)g（x）=f（x）-$\frac{1}{2}$，求函數(shù)g（x）的值域．

Answer 1

分析 根據(jù)向量的運(yùn)算得出f（x）=cos（2ωx$+\frac{π}{3}$）$+\frac{1}{2}$，
（1）利用三角函數(shù)的周期公式求解即可．
（2）得出函數(shù)g（x）=f（x）-$\frac{1}{2}$=cos（2ωx$+\frac{π}{3}$）=cos（2x$+\frac{π}{3}$），利用余弦函數(shù)的性質(zhì)求解值域．

解答 解：∵$\overrightarrow a=（-\sqrt{3}sinωx，cosωx）$，$\overrightarrow b=（cosωx，cosωx）$，ω＞0，
∴數(shù)f（x）=$\overrightarrow a•\overrightarrow b$=$-\sqrt{3}$sinωxcosωx+cos²ωx=cos（2ωx$+\frac{π}{3}$）$+\frac{1}{2}$
（1）f（x）=cos（2ωx$+\frac{π}{3}$）$+\frac{1}{2}$，T=$\frac{2π}{2ω}$=$\frac{π}{ω}$，
∵f（x）的最小正周期為π．
∴ω=1
（2）g（x）=f（x）-$\frac{1}{2}$=cos（2ωx$+\frac{π}{3}$）=cos（2x$+\frac{π}{3}$）
根據(jù)余弦函數(shù)的值域[-1，1]得出g（x）的值域?yàn)椋篬-1，1]

點(diǎn)評 本題綜合考察了平面向量的運(yùn)算，三角函數(shù)的性質(zhì)，考察了綜合運(yùn)算知識的能力，屬于中檔題，常規(guī)題目．