Question

2．設(shè)關(guān)于x的不等式x²-x＜2n（n+1）x，（n∈N^*）的解集中整數(shù)的個(gè)數(shù)為$\frac{1}{a_n}$，數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，則S₁₀₀的值為$\frac{50}{101}$．

Answer 1

分析 解不等式x²-x＜2n（n+1）x得0＜x＜2n（n+1）+1，從而可得$\frac{1}{a_n}$=2n（n+1），a_n=$\frac{1}{2n（n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），從而求前100項(xiàng)和即可．

解答 解：∵x²-x＜2n（n+1）x，（n∈N^*），
∴x²-（2n（n+1）+1）x＜0，
∴0＜x＜2n（n+1）+1，
∴$\frac{1}{a_n}$=2n（n+1），
∴a_n=$\frac{1}{2n（n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
∴S₁₀₀=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{100}$-$\frac{1}{101}$）
=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{101}$）=$\frac{50}{101}$；
故答案為：$\frac{50}{101}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次不等式的求解及裂項(xiàng)求和法的應(yīng)用，屬于中檔題．