Question

18．已知f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x＞0時，f（x）=x（1-x），求
（1）f（0）；
（2）當(dāng)x＜0時，f（x）的表達式；
（3）f（x）的表達式．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，定義在R上的奇函數(shù)圖象必要原點，可得f（0）；
（2）當(dāng)x＜0時，-x＞0，結(jié)合當(dāng)x＞0時，f（x）=x（1-x），及f（-x）=-f（x）可得x＜0時，f（x）的表達式；
（3）結(jié)合已知及（1）（2）的結(jié)論，可得f（x）的表達式

解答 解：（1）∵f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，
∴f（0）=0；
（2）當(dāng)x＜0時，-x＞0，
∵當(dāng)x＞0時，f（x）=x（1-x），
∴f（-x）=-x（1+x），
又∵奇函數(shù)滿足f（-x）=-f（x），
∴x＜0時，f（x）=-f（-x）=x（1+x），
（3）綜上所述：
f（x）=$\left\{\begin{array}{l}x（1+x），x≤0\\ x（1-x），x＞0\end{array}\right.$

點評 本題主要考查函數(shù)奇偶性的應(yīng)用，利用函數(shù)奇偶性的定義將變量進行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵．