Question

6．已知向量$\overrightarrow{a}$=（x²，x+1），$\overrightarrow$=（1-x，m），若函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$在區(qū)間（-1，1）上是減函數(shù)，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=x²（1-x）+m（x+1）=-x³+x²+mx+m，由于函數(shù)f（x）在區(qū)間（-1，1）上是減函數(shù)，可得f′（x）≤0，在區(qū)間（-1，1）上成立，再利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答 解：函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=x²（1-x）+m（x+1）=-x³+x²+mx+m，
f′（x）=-3x²+2x+m，
∵函數(shù)f（x）在區(qū)間（-1，1）上是減函數(shù)，
∴-3x²+2x+m≤0，在區(qū)間（-1，1）上成立，
∴m≤（3x²-2x）_min，x∈（-1，1）．
由g（x）=3x²-2x=$3（x-\frac{1}{3}）^{2}$-$\frac{1}{3}$，
當x=$\frac{1}{3}$時，函數(shù)g（x）取得最小值-$\frac{1}{3}$．
∴$m≤-\frac{1}{3}$．
∴實數(shù)m的取值范圍是$（-∞，-\frac{1}{3}]$．

點評 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、二次函數(shù)的單調(diào)性、向量數(shù)量積運算性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．