3．設f（x）=$\frac{{e}^{2x}+{a}^{2}}{{e}^{x}}$是R上的偶函數(shù)．
（1）求a的值；
（2）證明：f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)．

分析 （1）利用偶函數(shù)的定義，建立方程，即可求a的值；
（2）利用導數(shù)，證明x＞0時，f′（x）＞0，即可證明：f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)．

解答 （1）解：∵f（x）=$\frac{{e}^{2x}+{a}^{2}}{{e}^{x}}$是R上的偶函數(shù)，
∴$\frac{{e}^{-2x}+{a}^{2}}{{e}^{-x}}$=$\frac{{e}^{2x}+{a}^{2}}{{e}^{x}}$，
∴$\frac{1+{e}^{2x}{a}^{2}}{{e}^{x}}$=$\frac{{e}^{2x}+{a}^{2}}{{e}^{x}}$，
∴a2=1，
∴a=±1；
（2）證明：f（x）=$\frac{{e}^{2x}+{a}^{2}}{{e}^{x}}$=ex+e-x，
∴f′（x）=ex-e-x=$\frac{{e}^{2x}-1}{{e}^{x}}$，
∵x＞0，∴f′（x）＞0，
∴f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)．

點評 本題考查函數(shù)的奇偶性與單調性，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

13．已知冪函數(shù)y=x${\;}^{{n}^{2}-2n-3}$（n∈Z）為偶函數(shù)，且在（0，+∞）上為減函數(shù)．
（1）求解析式；
（2）討論h（x）=a$\sqrt{f（x）}$-$\frac{xf（x）}$（a，b∈k）的奇偶性；
（3）求滿足（t+1）${\;}^{-\frac{n}{3}}$＜（3-2t）${\;}^{-\frac{n}{3}}$的t的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

14．已知函數(shù)f（x）=asinωx+bcosωx，其中ab≠0．
（1）已知ω=2，且函數(shù)y=f（x）的圖象經過點（$\frac{π}{4}$，2）和點（$\frac{π}{2}$，-2）．
①求y=f（x）的解析式；
②將函數(shù)y=f（x）的圖象上各點的橫坐標保持不變，縱坐標縮短為原來的$\frac{\sqrt{2}}{2}$倍，再把所得圖象向右平移$\frac{π}{4}$個單位，得到函數(shù)y=g（x）的圖象，若方程g（|x|）=m在區(qū)間[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]上有且只有2個不同的實根，求實數(shù)m的取值范圍．
（2）已知ω=1，且函數(shù)y=f（x）在x=x0處取最大值，當實數(shù)a，b滿足（a-$\sqrt{3}$）2+（b-1）2=1時，求tan（$\frac{π}{4}$-x0）的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

11．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn和為Sn，S1=-$\frac{1}{4}$，an-4SnSn-1=0（n≥2）
（1）若bn=$\frac{1}{{S}_{n}}$，證明{bn}是等差數(shù)列；
（2）求數(shù)列{an}的通項公式．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

18．已知f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且當x＞0時，f（x）=x（1-x），求
（1）f（0）；
（2）當x＜0時，f（x）的表達式；
（3）f（x）的表達式．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：選擇題

8．函數(shù)f（x）的定義域為R，且滿足f（x）是偶函數(shù)，f（1-x）=f（1+x），若f（0.5）=9，則f（8.5）等于（　�。�
A．-9B．9C．-3D．0

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：填空題

15．已知數(shù)列{an}滿足a1=1，a n+1=2n+2an，則an=n•2n-1．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

12．已知數(shù)列{an}中，a1=1，（n+2）an+1an-1=an •an-1+（n+1）an2，求數(shù)列{an}的通項公式．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

13．分解因式：x2+（2a-b）x+（a2-ab-2b2）．

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