Question

4．設f（x）=2^x+$\frac{a}{{2}^{x}}$-1（a為實數）．
（1）x∈R，試討論f（x）的單調性；
（2）當a=0時，若函數y=g（x）的圖象與y=f（x）的圖象關于直線x=l對稱，求函數y=g（x）的解析式．

Answer 1

分析 （1）由復合函數的單調性判斷f（x）是R上是增函數；
（2）根據y=g（x）的圖象與y=f（x）的圖象關于直線x=1對稱，求出g（x）的解析式即可．

解答 解：（1）∵f（x）=2^x+$\frac{a}{{2}^{x}}$-1（a為常數），
①當a＜0時，y=2^x在R上是增函數，
∴y=$\frac{1}{{2}^{x}}$在R上是減函數，
∴y=$\frac{a}{{2}^{x}}$在R上是增函數，
∴f（x）在R上是增函數；
②a=0時，f（x）=2^x-1在R上是增函數；
③a＞0時，f（x）=2^x+$\frac{a}{{2}^{x}}$-1≥2$\sqrt{{2}^{x}•\frac{a}{{2}^{x}}}$-1=2$\sqrt{a}$-1，
當且僅當x=$\frac{1}{2}$${log}_{2}^{a}$時，“=”成立，
x→+∞時，f（x）→+∞，x→-∞時，f（x）→+∞，
∴f（x）在（-∞，$\frac{1}{2}$${log}_{2}^{a}$）遞減，在（$\frac{1}{2}$${log}_{2}^{a}$，+∞）遞增；
（2）當a=0時，f（x）=2^x-1，
∵y=g（x）的圖象與y=f（x）的圖象關于直線x=1對稱，
∴g（x）=2^2-x-1；

點評 本題考查了函數的單調性與對稱性的應用問題，考查了分類討論思想，是中檔題．