Question

16．已知函數(shù)f（x）=x²-（2a+1）x+alnx，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析 先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．

解答 解：∵f（x）=x²-（2a+1）x+alnx，（x＞0），
∴f′（x）=2x-（2a+1）+$\frac{a}{x}$=$\frac{2{x}^{2}-（2a+1）x+a}{x}$=$\frac{（2x-1）（x-a）}{x}$，
①a≤0時，令f′（x）＞0，解得：x＞$\frac{1}{2}$，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜$\frac{1}{2}$，
∴f（x）在（0，$\frac{1}{2}$）遞減，在（$\frac{1}{2}$，+∞）遞增；
②0＜a＜$\frac{1}{2}$時，令f′（x）＞0，解得：x＞$\frac{1}{2}$或0＜x＜a，令f′（x）＜0，解得：a＜x＜$\frac{1}{2}$，
∴f（x）在（0，a），（$\frac{1}{2}$，+∞）遞增，在（a，$\frac{1}{2}$）遞減；
③a=$\frac{1}{2}$時，f′（x）≥0，f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增；
④a＞$\frac{1}{2}$時，令f′（x）＞0，解得：0＜x＜$\frac{1}{2}$或x＞a，令f′（x）＜0，解得：$\frac{1}{2}$＜x＜a，
∴f（x）在（0，$\frac{1}{2}$），（a，+∞）遞增，在（$\frac{1}{2}$，a）遞減．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查分類討論思想，是一道中檔題．