Question

如圖，四棱錐P-ABCD中，△PAB是正三角形，四邊形ABCD是矩形，且平面PAB⊥平面ABCD，PA=2，PC=4．
（Ⅰ）若點E是PC的中點，求證：PA∥平面BDE；
（Ⅱ）若點F在線段PA上，且FA=λPA，當三棱錐B-AFD的體積為

4

3

時，求實數(shù)λ的值．

Answer 1

考點：直線與平面平行的判定,棱柱、棱錐、棱臺的體積

專題：空間位置關系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）連接AC，設AC∩BD=Q，又點E是PC的中點，則在△PAC中，中位線EQ∥PA，又EQ?平面BDE，PA?平面BDE．所以PA∥平面BDE
（Ⅱ）由平面PAB⊥平面ABCD，則PO⊥平面ABCD；作FM∥PO于AB上一點M，則FM⊥平面ABCD，進一步利用

4

3

=VB-AFD=VF-ABD=

1

3

S△ABD•FM=

2 3

3

FM⇒FM=

2 3

3

最后利用平行線分線段成比例求出λ的值．

解答： 證明：（Ⅰ）如圖連接AC，設AC∩BD=Q，又點E是PC的中點，則在△PAC中，中位線EQ∥PA，
又EQ?平面BDE，PA?平面BDE．
所以PA∥平面BDE
（Ⅱ）解：依據(jù)題意可得：PA=AB=PB=2，取AB中點O，
所以PO⊥AB，且PO=

3

又平面PAB⊥平面ABCD，
則PO⊥平面ABCD；
作FM∥PO于AB上一點M，
則FM⊥平面ABCD，
因為四邊形ABCD是矩形，
所以BC⊥平面PAB，
則△PBC為直角三角形，
所以BC=

PC2-PB2

=2

3

，
則直角三角形△ABP的面積為S△ABP=

1

2

AB•AD=2

3

4

3

=VB-AFD=VF-ABD=

1

3

S△ABD•FM=

2 3

3

FM⇒FM=

2 3

3

由FM∥PO得：

FM

PO

=

FA

PA

=λ⇒

2 3 3

3

=λ⇒λ=

2

3

點評：本題考查的知識要點：線面垂直的判定定理，面面垂直的性質定理，線面垂直的判定，等體積的轉化關系，錐體的體積公式，平行線分線段成比例定理．