如圖,四棱錐P-ABCD中,△PAB是正三角形,四邊形ABCD是矩形,且平面PAB⊥平面ABCD,PA=2,PC=4.
(Ⅰ)若點(diǎn)E是PC的中點(diǎn),求證:PA∥平面BDE;
(Ⅱ)若點(diǎn)F在線段PA上,且FA=λPA,當(dāng)三棱錐B-AFD的體積為
4
3
時(shí),求實(shí)數(shù)λ的值.
考點(diǎn):直線與平面平行的判定,棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積
專題:空間位置關(guān)系與距離,空間角
分析:(Ⅰ)連接AC,設(shè)AC∩BD=Q,又點(diǎn)E是PC的中點(diǎn),則在△PAC中,中位線EQ∥PA,又EQ?平面BDE,PA?平面BDE.所以PA∥平面BDE
(Ⅱ)由平面PAB⊥平面ABCD,則PO⊥平面ABCD;作FM∥PO于AB上一點(diǎn)M,則FM⊥平面ABCD,進(jìn)一步利用
4
3
=VB-AFD=VF-ABD=
1
3
S△ABD•FM=
2
3
3
FM⇒FM=
2
3
3
最后利用平行線分線段成比例求出λ的值.
解答: 證明:(Ⅰ)如圖連接AC,設(shè)AC∩BD=Q,又點(diǎn)E是PC的中點(diǎn),則在△PAC中,中位線EQ∥PA,
又EQ?平面BDE,PA?平面BDE.
所以PA∥平面BDE
(Ⅱ)解:依據(jù)題意可得:PA=AB=PB=2,取AB中點(diǎn)O,
所以PO⊥AB,且PO=
3

又平面PAB⊥平面ABCD,
則PO⊥平面ABCD;
作FM∥PO于AB上一點(diǎn)M,
則FM⊥平面ABCD,
因?yàn)樗倪呅蜛BCD是矩形,
所以BC⊥平面PAB,
則△PBC為直角三角形,
所以BC=
PC2-PB2
=2
3
,
則直角三角形△ABP的面積為S△ABP=
1
2
AB•AD=2
3
4
3
=VB-AFD=VF-ABD=
1
3
S△ABD•FM=
2
3
3
FM⇒FM=
2
3
3

由FM∥PO得:
FM
PO
=
FA
PA
=λ⇒
2
3
3
3
=λ⇒λ=
2
3
點(diǎn)評(píng):本題考查的知識(shí)要點(diǎn):線面垂直的判定定理,面面垂直的性質(zhì)定理,線面垂直的判定,等體積的轉(zhuǎn)化關(guān)系,錐體的體積公式,平行線分線段成比例定理.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)F1,F(xiàn)2,M是橢圓上任意一點(diǎn),若以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心,橢圓短軸長為直徑的圓恰好經(jīng)過橢圓的焦點(diǎn),且△MF1F2的周長為4+2
2

(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)設(shè)直線l是圓O:x2+y2=
4
3
上動(dòng)點(diǎn)P(x0,y0)(x0•y0≠0)處的切線,l與橢圓C交與不同的兩點(diǎn)Q,R,證明:∠QOR的大小為定值.

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已知橢圓Q的中心為坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,離心率e=
3
2
,過橢圓Q右焦點(diǎn)且垂直于x軸的一條直線交橢圓于E,F(xiàn)兩點(diǎn),|EF|=1.
(Ⅰ)求橢圓Q的方程;
(Ⅱ)已知兩點(diǎn)C(-
6
2
,0),D(
6
2
,0)
,設(shè)A,B,M是橢圓Q上的三點(diǎn),滿足
OM
=
3
5
OA
+
4
5
OB
,點(diǎn)N為線段AB的中點(diǎn),求|NC|+|ND|的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=1-4sinxsin(x-
π
3
),在△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別是a,b,c,且f(A)=1,b+c=3.
(1)求角A的大小;
(2)求邊BC上高的最大值.

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在極坐標(biāo)系中,圓ρ=2cosθ直徑等于
 

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已知正方體ABCD-A1B1C1D1,過點(diǎn)A、C及DD1延長線上一點(diǎn)G作出它的截面,其中D1G=
1
2
DD1,證明該截面為梯形.

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某校從參加高一年級(jí)期末考試的學(xué)生中抽出20名學(xué)生,將其成績(均為整數(shù))分成六段[40,50),[50,60)…[90,100],然后畫出如下所示頻率分布直方圖,但是缺失了第四組[70,80)的信息.觀察圖形的信息,回答下列問題.
(1)求第四組[70,80)的頻率;
(2)從成績是[50,60)和[60,70)的兩段學(xué)生中任意選兩人,求他們?cè)谕环謹(jǐn)?shù)段的概率.

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判斷并證明函數(shù)y=2 x2+2x+3的單調(diào)性.

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對(duì)于函數(shù)f(x),若在定義域內(nèi)存在實(shí)數(shù)x,滿足f(-x)=-f(x),則稱f(x)為“局部奇函數(shù)”.
(Ⅰ)若f(x)=2x+m是定義在區(qū)間[-1,1]上的“局部奇函數(shù)”,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
(Ⅱ)若f(x)=4x-m2x+1+m2-3為定義域R上的“局部奇函數(shù)”,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
注:函數(shù)y=x+
1
x
在區(qū)間(0,1]上單調(diào)遞減,在區(qū)間[1,+∞)上單調(diào)遞增.

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