Question

對于函數(shù)f（x），若在定義域內(nèi)存在實(shí)數(shù)x，滿足f（-x）=-f（x），則稱f（x）為“局部奇函數(shù)”．
（Ⅰ）若f（x）=2^x+m是定義在區(qū)間[-1，1]上的“局部奇函數(shù)”，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（Ⅱ）若f（x）=4^x-m2^x+1+m²-3為定義域R上的“局部奇函數(shù)”，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
注：函數(shù)y=x+

1

x

在區(qū)間（0，1]上單調(diào)遞減，在區(qū)間[1，+∞）上單調(diào)遞增．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,函數(shù)奇偶性的判斷

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）由局部奇函數(shù)的定義：存在x∈[-1，1]，f（-x）=-f（x），這樣求出m=-

1

2

(2x+

1

2x

)，所以要求m的取值范圍，只要求函數(shù)2x+

1

2x

的值域，而該函數(shù)的值域，根據(jù)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值的方法求解，即先求該函數(shù)在[-1，1]上的極值，比較端點(diǎn)值，從而求出最值；
（Ⅱ）根據(jù)局部奇函數(shù)的定義：f（x）+f（-x）=0，得到4^x+4^-x-2m（2^x+2^-x）+2m²-6=0，令2^x+2^-x=n（n≥2），帶入上式得n²-2mn+2m²-8=0，關(guān)于n的方程有解，所以求出n=m±

8-m2

(-2

2

≤m≤2

2

)，所以需要m+

8-m2

≥2，即

8-m2

≥2-m，同過討論m和2的關(guān)系解該不等式便得實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）根據(jù)局部奇函數(shù)的定義，存在x∈[-1，1]，使f（-x）=2^-x+m=-2^x-m；
∴m=-

1

2

(2x+

1

2x

)，令g（x）=2x+

1

2x

，則g′（x）=2xln2(1-

1

22x

)；
∴-1≤x＜0時(shí)，

1

4

≤22x＜1，1＜

1

22x

≤4，∴1-

1

22x

＜0，g′（x）＜0；
0＜x≤1時(shí)，1＜22x≤4，

1

4

≤

1

22x

＜1，∴1-

1

22x

＞0，g′（x）＞0；
∴g（0）=2是g（x）在[-1，1]上的最小值，又g（-1）=g（1）=

5

2

，所以g（x）的最大值是

5

2

；
∴2≤g(x)≤

5

2

，∴1≤

1

2

(2x+

1

2x

)≤

5

4

，∴-

5

4

≤m≤-1；
即實(shí)數(shù)m的取值范圍為[-

5

4

，-1]；
（Ⅱ）根據(jù)局部奇函數(shù)的定義知，存在x∈R，使f（x）+f（-x）=0；
∴4^x+4^-x-2m（2^x+2^-x）+2m²-6=0；
令2^x+2^-x=n（n≥2），則：n²-2mn+2m²-8=0，可將該式看成關(guān)于n的方程，n在[2，+∞）有解；
∴n=m±

8-m2

，m∈[-2

2

，2

2

]；
∴m+

8-m2

≥2    （1）；
①當(dāng)2≤m≤2

2

，時(shí)（1）式恒成立；
②當(dāng)-2

2

≤m＜2時(shí)，

8-m2

≥2-m，將該不等式整理成m²-2m-2≤0，解得1-

3

≤m≤1+

3

；
∴1-

3

≤m＜2；
綜上得m的取值范圍為[1-

3

，2

2

]．

點(diǎn)評：考查函數(shù)導(dǎo)數(shù)符號和函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，函數(shù)極值的概念，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值的過程，以及解一元二次不等式．