Question

設(shè)等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且S₃+S₄=S₅，a₇=5a₂+2．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)b_n=（

1

2

）^n-1，求數(shù)列{a_nb_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等差數(shù)列的前n項(xiàng)和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式比較容易求出{a_n}的通項(xiàng)公式，求出通向公式是：a_n=-2n+1．對于第二問，先帶入a_n，b_n，求出a_nb_n，并且能得到Tn=-1•1-3•

1

2

-5•(

1

2

)2-…-(2n-1)•(

1

2

)n-1，先觀察這前n項(xiàng)和，里面像有個(gè)等比數(shù)列，而對于這種數(shù)列的求和，一般在和的兩邊同乘以公比，然后再交錯(cuò)相減便可出現(xiàn)一個(gè)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，那么利用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式便可求出．用上這個(gè)方法本題便不難解決．

解答： 解：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)為a₁，公差為d，由S₃+S₄=S₅，a₇=5a₂+2得：2a₁-d=0，4a₁-d+2=0解得：a₁=-1，d=-2因此：a_n=-2n+1（n∈N^*）
（2）a_nb_n=（-2n+1）（

1

2

）^n-1
∴Tn=-1•1-3•

1

2

-5•(

1

2

)2-…-(2n-1)•(

1

2

)n-1①

1

2

Tn=-1•

1

2

-3•(

1

2

)2-5•(

1

2

)3-…-(2n-1)(

1

2

)n②
①-②，得

1

2

Tn=-1-2[

1

2

+(

1

2

)2+(

1

2

)3+…+(

1

2

)n-1]+(2n-1)(

1

2

)n+(2n-1)(

1

2

)n=-1-2[1-(

1

2

)n-1]+(2n-1)(

1

2

)n=-3+(2n+3)(

1

2

)n
所以Tn=-6+(4n+6)(

1

2

)n．

點(diǎn)評(píng)：考查等差數(shù)列通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式，等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式．而用到的一個(gè)方法就是在和里面如果含有等比數(shù)列，一般在和的兩邊同乘以公比q．然后交錯(cuò)相減即可求求出前n項(xiàng)和．