Question

已知{a_n}為等差數(shù)列，且a₁+a₃=8，a₂+a₄=12．?dāng)?shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且3S_n=b_n+2，n∈N^*，
（1）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)c_n=

an   n為奇數(shù) bn  n為偶數(shù)

，求數(shù)列{c_n}的前2n+1項(xiàng)的和T_2n+1．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等差數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列,點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（1）根據(jù)等差數(shù)列的定義建立方程組求出首項(xiàng)和公差即可得到結(jié)論．
（2）求出數(shù)列{c_n}的通項(xiàng)公式，利用分組求和法即可得到結(jié)論．

解答： 解：（1）∵{a_n}為等差數(shù)列，且a₁+a₃=8，a₂+a₄=12．
∴

2a1+2d=8 2a1+4d=12

，解得a₁=2，d=2，即a_n=2+2（n-1）=2n，
∵數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且3S_n=b_n+2，①
∴當(dāng)n=1時(shí)，3S₁=b₁+2，解得b₁=1，
當(dāng)n≥2時(shí)，3S_n-1=b_n-1+2，②
①-②得，b_n=-

1

2

b_n-1，
則數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，公比q=-

1

2

，
則b_n=（-

1

2

）^n-1．
（2）c_n=

an   n為奇數(shù) bn  n為偶數(shù)

=

2n， n為奇數(shù) (- 1 2 )n-1， n為偶數(shù)

，
∴數(shù)列{c_n}的前2n+1項(xiàng)的和T_2n+1=（a₁+a₃+…+a_2n+1）+（b₂+b₄+…+b_2n）
=

2+2(2n+1)

2

•(n+1)+

(- 1 2 )[1-( 1 4 )n]

1- 1 4

=2n²+4n+

4

3

+

2

3

×(

1

4

)n．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的判斷和通項(xiàng)公式的計(jì)算，以及數(shù)列求和，利用分組求和是解決本題的關(guān)鍵．