Question

8．設函數f（x）=x²-ax+ln（$\frac{1}{2}$ax+$\frac{1}{2}$）（a∈R）．
（1）若函數f（x）在x=$\frac{1}{2}$處取極值，求函數f（x）的單調區(qū)間；
（2）若對任意的a∈（1，2），當x₀∈[1，2]時，都有f（x₀）＞m（1-a²），求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數f（x）的導數，由題意可得f′（$\frac{1}{2}$）=0，解得a=2和-1，分別討論當a=2，-1時，求出f（x）的導數，在定義域內解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0即可；
（2）對任意的a∈（1，2），當x₀∈[1，2]時，都有f（x₀）＞m（1-a²），等價于f（x₀）_min＞m（1-a²），用導數可求f（x₀）_min，構造函數g（a）=f（x₀）_min-m（1-a²）（1＜a＜2），問題轉化為g（a）_min＞0（1＜a＜2），分類討論可求出m的取值范圍．

解答 解：（1）函數f（x）=x²-ax+ln（$\frac{1}{2}$ax+$\frac{1}{2}$）的導數為f′（x）=2x-a+a•$\frac{1}{ax+1}$，
由題意可得f′（$\frac{1}{2}$）=0，即為1-a+a•$\frac{2}{a+2}$=0，
解得a=2或-1，
當a=2時，f′（x）=2x-2+$\frac{2}{2x+1}$=$\frac{2x（2x-1）}{2x+1}$，
由f′（x）＞0，解得x＞$\frac{1}{2}$或-$\frac{1}{2}$＜x＜0，由f′（x）＜0，解得0＜x＜$\frac{1}{2}$；
當a=-1時，f′（x）=2x+1+$\frac{1}{x-1}$=$\frac{x（2x-1）}{x-1}$（x＜1），
由f′（x）＞0，解得0＜x＜$\frac{1}{2}$；由f′（x）＜0，解得$\frac{1}{2}$＜x＜1或x＜0．
綜上可得，當a=2時，f（x）的增區(qū)間為（$\frac{1}{2}$，+∞），（-$\frac{1}{2}$，0），減區(qū)間為（0，$\frac{1}{2}$）；
當a=-1時，f（x）的增區(qū)間為（0，$\frac{1}{2}$），減區(qū)間為（$\frac{1}{2}$，1），（-∞，0）；
（2）y=f（x）的定義域為（-$\frac{1}{a}$，+∞）．
f′（x）=2x-a+$\frac{a}{ax+1}$=$\frac{2a{x}^{2}-（{a}^{2}-2）x}{ax+1}$=$\frac{2ax（x-{a}^{2}+2）}{ax+1}$．
當1＜a＜2時，$\frac{{a}^{2}-2}{2a}$-1=$\frac{{a}^{2}-2a-2}{2a}$=$\frac{（a-1）^{2}-3}{2a}$＜0，即$\frac{{a}^{2}-2}{2a}$＜1，
所以當1＜x＜2時，f′（x）＞0，f（x）在[1，2]上單調遞增，
所以f（x）在[1，2]上的最小值為f（1）=1-a+ln（$\frac{1}{2}$a+$\frac{1}{2}$）．
依題意，對任意的a∈（1，2），當x₀∈[1，2]時，都有f（x₀）＞m（1-a²），
即可轉化為對任意的a∈（1，2），1-a+ln（$\frac{1}{2}$a+$\frac{1}{2}$）-m（1-a²）＞0恒成立．
設g（a）=1-a+ln（$\frac{1}{2}$a+$\frac{1}{2}$）-m（1-a²）（1＜a＜2）．
則g′（a）=-1+$\frac{1}{a+1}$+2ma=$\frac{2m{a}^{2}+（2m-1）a}{a+1}$=$\frac{a[2ma-（1-2m）]}{a+1}$，
①當m≤0時，2ma-（1-2m）＜0，且$\frac{a}{a+1}$＞0，所以g′（a）＜0，
所以g（a）在（1，2）上單調遞減，且g（1）=0，則g（a）＜0，與g（a）＞0矛盾．
②當m＞0時，g′（a）=$\frac{2ma}{a+1}$（a-$\frac{1-2m}{2m}$），
若$\frac{1-2m}{2m}$≥2，則g′（a）＜0，g（a）在（1，2）上單調遞減，
且g（1）=0，g（a）＜0，與g（a）＞0矛盾；
若1＜$\frac{1-2m}{2m}$＜2，則g（a）在（1，$\frac{1-2m}{2m}$）上單調遞減，在（$\frac{1-2m}{2m}$，2）上單調遞增，
且g（1）=0，g（a）＜g（1）=0，與g（a）＞0矛盾；
若$\frac{1-2m}{2m}$≤1，則g（a）在（1，2）上單調遞增，且g（1）=0，
則恒有g（a）＞g（1）=0，所以 m＞0且$\frac{1-2m}{2m}$≤1，
解得m≥$\frac{1}{4}$，
所以m的取值范圍為[$\frac{1}{4}$，+∞）．

點評 本題考查綜合運用導數求函數的單調區(qū)間、最值及函數恒成立問題，考查學生綜合運用知識分析問題解決問題的能力，考查分類討論思想的運用．