Question

20．已知P為△ABC所在平面外一點，G₁、G₂、G₃分別是△PAB、△PCB、△PAC的重心；D、E、F分別是AB、BC、CA的中點．
（1）求證：平面G₁G₂G₃∥平面ABC；
（2）求S_△$_{{G_1}{G_2}{G_3}}$：S_△ABC=1：9．

Answer 1

分析 （1）利用三角形重心的性質(zhì)，結(jié)合線面平行的判定定理，證明G₁G₂∥平面ABC，G₂G₃∥平面ABC，再證明平面G₁G₂G₃∥平面ABC；
（2）證明△G₁G₂G₃∽△CAB，其相似比為1：3，可得結(jié)論．

解答 （1）證明：如圖所示，連接PG₁、PG₂、PG₃并延長分別與邊AB、BC、AC交于點D、E、F，
連接DE、EF、FD，則有PG₁：PD=2：3，PG₂：PE=2：3，∴G₁G₂∥DE．
又G₁G₂不在平面ABC內(nèi)，∴G₁G₂∥平面ABC．
同理G₂G₃∥平面ABC．
又因為G₁G₂∩G₂G₃=G₂，∴平面G₁G₂G₃∥平面ABC．
（2）解：由（1）知$\frac{{P{G_1}}}{PD}=\frac{{P{G_2}}}{PE}$=$\frac{2}{3}$，∴G₁G₂=$\frac{2}{3}$DE．
又DE=$\frac{1}{2}$AC，∴G₁G₂=$\frac{1}{3}$AC．
同理G₂G₃=$\frac{1}{3}$AB，G₁G₃=$\frac{1}{3}$BC．
∴△G₁G₂G₃∽△CAB，其相似比為1：3，
∴${S}_{△{G}_{1}{G}_{2}{G}_{3}}$：S_△ABC=1：9．
故答案為：1：9

點評 要證“面面平行”，只要證“線面平行”，只要證“線線平行”，故問題最終轉(zhuǎn)化為證線與線的平行．