Question

4．在三棱錐S-ABC中，△ABC是邊長為1的正三角形，SC⊥面ABC，SC=2，則三棱錐S-ABC外接球的表面積為（　　）

• A． 6π
• B． $\frac{16π}{3}$
• C． $\frac{40π}{9}$
• D． $\frac{8π}{3}$

Answer 1

分析 由已知結(jié)合三棱錐和正三棱柱的幾何特征，可得此三棱錐外接球，即為以△ABC為底面以PA為高的正三棱柱的外接球，分別求出棱錐底面半徑r，和球心距d，代入R=$\sqrt{{r}^{2}+qlamsku^{2}}$，可得球的半徑R，然后求解表面積．

解答 解：根據(jù)已知中底面△ABC是邊長為2的正三角形，SC⊥面ABC，SC=2，
可得此三棱錐外接球，即為以△ABC為底面以SC為高的正三棱柱的外接球，
∵△ABC是邊長為1的正三角形，
∴△ABC的外接圓半徑r=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，球心到△ABC的外接圓圓心的距離d=1，
故球的半徑R=$\sqrt{{r}^{2}+5f7pa32^{2}}$=$\sqrt{{（\frac{\sqrt{3}}{3}）}^{2}+{1}^{2}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
三棱錐S-ABC外接球的表面積為：4π${×（\frac{2\sqrt{3}}{3}）}^{2}$=$\frac{16π}{3}$．
故選：B．

點評 本題考查的知識點是球內(nèi)接多面體，熟練掌握球的半徑R公式R=$\sqrt{{r}^{2}+nfbmlbi^{2}}$，是解答的關(guān)鍵．