Question

2．已知函數(shù)f（x）=$\frac{lnx+a}{{e}^{x}}$（a∈R，e=2.71828…是自然對數(shù)的底數(shù)）．
（Ⅰ）若曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線與x軸平行，求a的值；
（Ⅱ）設(shè)g（x）=（x³+2x²+2x）f′（x），其中f′（x）為f（x）的導函數(shù)，證明：對任意x＞0，g（x）＜2+$\frac{2}{{e}^{a+1}}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求函數(shù)的導數(shù)，利用導數(shù)的幾何意義即可求a的值；
（Ⅱ）求出g（x）的表達式，設(shè)φ（x）=$\frac{{x}^{2}+2x+2}{{e}^{x}}$，（x＞0），h（x）=1-xlnx-ax，（x＞0），求函數(shù)的導數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性即可得到結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）函數(shù)的定義域為（0，+∞），函數(shù)的導數(shù)f′（x）=$\frac{\frac{1}{x}•{e}^{x}-（a+lnx）{e}^{x}}{（{e}^{x}）^{2}}$=$\frac{\frac{1}{x}-（a+lnx）}{{e}^{x}}$=$\frac{1-xlnx-ax}{x{e}^{x}}$，
若曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線與x軸平行，
則f′（1）=0，
即f′（1）=$\frac{1-a}{e}=0$，解得a=1；
（Ⅱ）∵g（x）=（x³+2x²+2x）f′（x）=（x³+2x²+2x）•$\frac{1-xlnx-ax}{x{e}^{x}}$=（x²+2x+2）•$\frac{1-xln-ax}{{e}^{x}}$=$\frac{{x}^{2}+2x+2}{{e}^{x}}$•（1-xlnx-ax），
∴設(shè)φ（x）=$\frac{{x}^{2}+2x+2}{{e}^{x}}$，（x＞0），h（x）=1-xlnx-ax，（x＞0），
則h′（x）=-1-a-lnx，令h′（x）＞0得0＜x＜$\frac{1}{{e}^{a+1}}$，h（x）是增函數(shù)，
令h′（x）＜0得x＞$\frac{1}{{e}^{a+1}}$，h（x）是減函數(shù)，
∴h（x）的最大值為h（$\frac{1}{{e}^{a+1}}$）=1+$\frac{a+1}{{e}^{a+1}}$-$\frac{a}{{e}^{a+1}}$=1+$\frac{1}{{e}^{a+1}}$，
∵φ′（x）=$\frac{（2x+2）{e}^{x}-（{x}^{2}+2x+2）{e}^{x}}{{e}^{2x}}$=$-\frac{{x}^{2}}{{e}^{x}}$＜0，
∴φ（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)，
∴φ（x）＜φ（0）=2，
∵x＞0，∴0＜φ（x）＜2，
∴h（x）φ（x）＜2•（1+$\frac{1}{{e}^{a+1}}$）=2+$\frac{2}{{e}^{a+1}}$．
即g（x）＜2+$\frac{2}{{e}^{a+1}}$．成立．

點評 本題主要考查導數(shù)的綜合應用，構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強，難度較大．