Question

【題目】在四棱錐中，底面為正方形，，為等邊三角形，線段的中點(diǎn)為，若，則此四棱錐的外接球的表面積為______.

Answer 1

【答案】

【解析】

設(shè)四棱錐的外接球的球心為，底面的中心為，根據(jù)的相對(duì)位置分類討論，結(jié)合銳角三角函數(shù)、勾股定理、球和正方形以及矩形的幾何性質(zhì)、球的表面積公式進(jìn)行求解即可.

設(shè)四棱錐的外接球的球心為，其半徑為，底面的中心為.

當(dāng)位于點(diǎn)處時(shí)，如下圖所示：

取的中點(diǎn)，連接，，因?yàn)榈酌?/span>為正方形，，為等邊三角形，所以，，而，

因?yàn)?/span>，所以，

設(shè)正方形的對(duì)角線的交點(diǎn)，過做平面，

則由題意可知垂足在上，顯然有，

在直角三角形中，，

，所以

過過做，因此四邊形是矩形，

所以有，

正方形中，，

由可知：，

在直角三角形中，得

，

由解得：，不符合題意，舍去；

當(dāng)位于點(diǎn)處時(shí)，如上圖所示：

由可知：，

在直角三角形中，得

，

由解得：，

所以此四棱錐的外接球的表面積為.

故答案為：