Question

5．已知 S_n是數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，且S_n=2a_n+n-4．
（1）求a₁的值；
（2）若b_n=a_n-1，試證明數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列；
（3）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，并證明：$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}}$＜1．

Answer 1

分析 （1）直接令n=1代入計(jì)算即可；
（2）通過S_n=2a_n+n-4與S_n-1=2a_n-1+n-5作差、變形可知a_n=2a_n-1，進(jìn)而整理即得結(jié)論；
（3）通過（2）放縮可知$\frac{1}{{a}_{n}}$＜$\frac{1}{{2}^{n}}$，進(jìn)而利用等比數(shù)列的求和公式計(jì)算即得結(jié)論．

解答 （1）解：∵S_n=2a_n+n-4，
∴a₁=S₁=2a₁+1-4，即a₁=3；
（2）證明：∵S_n=2a_n+n-4，
∴當(dāng)n≥2時(shí)，S_n-1=2a_n-1+n-5，
兩式相減得：a_n=2a_n-2a_n-1+1，即a_n=2a_n-1，
變形，得：a_n-1=2（a_n-1-1），
由（1）可知b₁=a₁-1=2，
故數(shù)列{b_n}是首項(xiàng)、公比均為2的等比數(shù)列；
（3）證明：由（2）可知a_n=2ⁿ+1，
∵$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{{1+2}^{n}}$＜$\frac{1}{{2}^{n}}$，
∴$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}}$＜$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$=$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$＜1．

點(diǎn)評(píng) 本題是一道關(guān)于數(shù)列與不等式的綜合題，考查運(yùn)算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．