Question

13．不等式lg（x²+100）≥2^a+siny對(duì)一切非零實(shí)數(shù)x，y均成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（-∞，0]．

Answer 1

分析 問題轉(zhuǎn)化為2^a≤lg（x²+100）-siny，令z=lg（x²+100）-siny，根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)的性質(zhì)求出z的最小值，從而求出a的范圍即可．

解答 解：不等式lg（x²+100）≥2^a+siny對(duì)一切非零實(shí)數(shù)x，y均成立，
∴2^a≤lg（x²+100）-siny，
令z=lg（x²+100）-siny，則z≥lg100-1=1，
∴2^a≤1，解得：a≤0，
則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（-∞，0]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)恒成立問題，考查對(duì)數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)的性質(zhì)，是一道中檔題．