Question

6．已知a、b為正實(shí)數(shù)，2b+ab+a=30，求函數(shù)y=$\frac{1}{ab}$的最小值．

Answer 1

分析 由題意和基本不等式可得：2b+a≥2$\sqrt{2ab}$，當(dāng)且僅當(dāng)2b=a時(shí)取等號，代入2b+ab+a=30化簡得ab+2$\sqrt{2ab}$-30≤0，利用換元法求出ab的范圍，即可求出函數(shù)y=$\frac{1}{ab}$的最小值．

解答 解：因?yàn)閍、b為正實(shí)數(shù)，
所以2b+a≥2$\sqrt{2ab}$，當(dāng)且僅當(dāng)2b=a時(shí)取等號，
由2b+ab+a=30得2b+a=30-ab，
則30-ab≥2$\sqrt{2ab}$，即ab+2$\sqrt{2ab}$-30≤0，
設(shè)t=$\sqrt{2ab}$，代入上面不等式得t²+4t-60≤0，
解得-10≤t≤6，則 0＜$\sqrt{2ab}$≤6，
所以0＜ab≤18，則$\frac{1}{ab}≥\frac{1}{18}$，當(dāng)且僅當(dāng)2b=a時(shí)取等號，
所以函數(shù)y=$\frac{1}{ab}$的最小值是$\frac{1}{18}$．

點(diǎn)評 本題考查基本不等式的應(yīng)用：將方程轉(zhuǎn)化為不等式，以及換元法在不等式中的應(yīng)用，屬于中檔題．