Question

7．若直線y=kx-2與拋物線y²=8x交于A、B兩點(diǎn)，若線段AB的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是2，則弦AB的長(zhǎng)為2$\sqrt{15}$．

Answer 1

分析 設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．直線方程與拋物線方程聯(lián)立可得k²x²-（4k+8）x+4=0，利用△＞0，可得k＞-1．利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式、根與系數(shù)的關(guān)系可得k及其弦長(zhǎng)|AB|=$\sqrt{（1+{k}^{2}）[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$．

解答 解：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx-2}\\{{y}^{2}=8x}\end{array}\right.$，化為k²x²-（4k+8）x+4=0，
△=（4k+8）²-16k²＞0，化為k＞-1．
∴x₁+x₂=$\frac{8+4k}{{k}^{2}}$=2×2，化為k²-k-2=0，
解得k=-1或k=2．
取k=2．
∴x₁+x₂=4，x₁x₂=1．
∴|AB|=$\sqrt{（1+{2}^{2}）[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$=$\sqrt{5（{4}^{2}-4）}$=2$\sqrt{15}$．
故答案為：2$\sqrt{15}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直線與拋物線相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系、弦長(zhǎng)公式、中點(diǎn)坐標(biāo)公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．