Question

9．已知直線l過(guò)點(diǎn)M（1，1），且與x軸，y軸的正半軸分別相交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．求：
（1）當(dāng)|OA|十|OB|取得最小值時(shí)，直線l的方程；
（2）當(dāng)|MA|²+|MB|²取得最小值時(shí)，直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）設(shè)出點(diǎn)A的坐標(biāo)，寫出直線AB的方程，利用基本不等式求出a+b=|OA|+|OB|的最小值，寫出對(duì)應(yīng)的直線方程；
（2）設(shè)出直線方程為y-1=k（x-1）（k＜0），求出|MA|²+|MB|²的最小值，寫出對(duì)應(yīng)的直線方程．

解答 解：（1）設(shè)點(diǎn)A（a，0），B（0，b），且a＞0，b＞0，
直線l的方程為：$\frac{x}{a}$+$\frac{y}$=1，
且直線l過(guò)點(diǎn)M（1，1），∴$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$=1①；
∴a+b=（a+b）•（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$）=2+$\frac{a}$+$\frac{a}$≥2+2$\sqrt{\frac{a}•\frac{a}}$=4，
當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{a}$=$\frac{a}$，即a=b時(shí)取“=”，
將a=b代入①式得a=2，b=2；
∴直線l的方程為x+y-2=0，
即|OA|+|OB|取最小值4時(shí)，l的方程為x+y-2=0；
（2）設(shè)直線方程為y-1=k（x-1）（k＜0），
則A（-$\frac{1}{k}$+1，0），B（0，1-k），
∴|MA|²+|MB|²=[（-$\frac{1}{k}$）²+1]+[1+（-k）²]=2+k²+$\frac{1}{{k}^{2}}$≥2+2•k²•$\frac{1}{{k}^{2}}$=4，
當(dāng)且僅當(dāng)k=-1時(shí)取“=”；
∴當(dāng)|MA|²+|MB|²取得最小值4時(shí)，直線l的方程為y-1=-（x-1），即x+y-2=0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了兩點(diǎn)間的距離公式及基本不等式和直線方法的應(yīng)用問(wèn)題，是綜合性題目．