Question

【題目】設(shè)為實(shí)常數(shù)，函數(shù)．

（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；

（2）設(shè)，不等式的解集為，不等式的解集為，當(dāng)時(shí)，是否存在正整數(shù)，使得或成立．若存在，試找出所有的m；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】(1) 在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．(2)存在，

【解析】

（1）當(dāng)時(shí)得，求導(dǎo)后發(fā)現(xiàn)在上單調(diào)遞增，且，從而得到原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）令，，利用導(dǎo)數(shù)和零點(diǎn)存在定理知存在，使得，再對(duì)分和兩種情況進(jìn)行討論.

解:（1），，

∵在上單調(diào)遞增，且，

∴在上負(fù),在上正，

故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．

（2）設(shè)，

，，單調(diào)遞增．

又，（也可依據(jù)），

∴存在使得，

故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．

又∵對(duì)于任意存在使得，

又，且有，

由零點(diǎn)存在定理知存在，使得，

故.

，

令，

由知在上單調(diào)遞減，

∴當(dāng)時(shí)，

又∵，和均在各自極值點(diǎn)左側(cè),

結(jié)合單調(diào)性可知，

當(dāng)時(shí)，，

成立，故符合題意．

當(dāng)時(shí)，，

令，則，

∴當(dāng)時(shí)，．

在上式中令，可得當(dāng)時(shí)，有成立，

令，則，

，恒成立.

故有成立，

知當(dāng)時(shí)，

又∵，在上單調(diào)遞增，

∴當(dāng)時(shí)，，，

而，∴此時(shí)和均不成立.綜上可得存在符合題意.