Question

【題目】在正方體中，點(diǎn)E是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)F是線段上的一個動點(diǎn)．有以下三個命題：

①異面直線與所成的角是定值；

②三棱錐的體積是定值；

③直線與平面所成的角是定值．

其中真命題的個數(shù)是( )

A. 3 B. 2 C. 1 D. 0

Answer 1

【答案】B

【解析】

以A點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB,AD,所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

可得=(1,1,1),=(t-1，1，-t)，可得=0,可得①正確；

由三棱錐的底面面積為定值，且∥,可得②正確；

可得=(t，1，-t)，平面的一個法向量為=（1，1，1），可得不為定值可得③錯誤，可得答案.

解:以A點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB,AD,所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體棱長為1，可得B(1,0,0),C(1,1,O),D(0,1,0),(0,0,1),(1,0,1),(1,1,1),(0,1,1),設(shè)F(t，1，1-t)，（0≤t≤1），

可得=(1,1,1),=(t-1，1，-t)，可得=0，故異面直線與所的角是定值，故①正確；

三棱錐的底面面積為定值，且∥,點(diǎn)F是線段上的一個動點(diǎn)，可得F點(diǎn)到底面的距離為定值，故三棱錐的體積是定值，故②正確；

可得=(t，1，-t)，=(0,1,-1),=(-1,1,0),可得平面的一個法向量為=（1，1，1），可得不為定值，故③錯誤;

故選B.