Question

10．設(shè)點(diǎn) P在曲線y=e^2x上，點(diǎn)Q在曲線y=$\frac{1}{2}$lnx上，則|PQ|的最小值為（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$（1-ln2）
• B． $\sqrt{2}$（1-ln2）
• C． $\sqrt{2}$（1+ln2）
• D． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$（1+ln2）

Answer 1

分析 由y=e^2x與$y=\frac{1}{2}lnx$互為反函數(shù)，圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱；利用導(dǎo)數(shù)求出y=e^2x的切線方程，計(jì)算原點(diǎn)到切線的距離，即可得出|PQ|的最小值．

解答 解：y=e^2x與$y=\frac{1}{2}lnx$互為反函數(shù)，它們圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱；
又y'=2e^2x，由直線的斜率$k=2{e^{2{x_0}}}=1$，得${x_0}=-\frac{1}{2}ln2$，
${y_0}={e^{2{x_0}}}=\frac{1}{2}$，
所以切線方程為$x-y+\frac{1}{2}+ln2=0$，
則原點(diǎn)到切線的距離為$d=\frac{{\sqrt{2}}}{4}（1+ln2）$，
|PQ|的最小值為$2d=\frac{{\sqrt{2}}}{2}（1+ln2）$．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)的圖象上的點(diǎn)距離最小的應(yīng)用問題，也考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線的切線問題，是綜合性題目．