【題目】已知橢圓C: + =1(a>b>0)的焦距為4,其短軸的兩個端點與長軸的一個端點構成正三角形.
(1)求橢圓C的標準方程;
(2)設F為橢圓C的左焦點,T為直線x=﹣3上任意一點,過F作TF的垂線交橢圓C于點P,Q.
①證明:OT平分線段PQ(其中O為坐標原點);
②當 最小時,求點T的坐標.
【答案】
(1)解:依題意有 解得
所以橢圓C的標準方程為 + =1
(2)解:設T(﹣3,t),P(x1,y1),Q(x2,y2),PQ的中點為N(x0,y0),
①證明:由F(﹣2,0),可設直線PQ的方程為x=my﹣2,則PQ的斜率 .
由 (m2+3)y2﹣4my﹣2=0,
所以 ,
于是 ,從而 ,
即 ,則直線ON的斜率 ,
又由PQ⊥TF知,直線TF的斜率 ,得t=m.
從而 ,即kOT=kON,
所以O,N,T三點共線,從而OT平分線段PQ,故得證.
②由兩點間距離公式得 ,
由弦長公式得 = = ,
所以 ,
令 ,則 (當且僅當x2=2時,取“=”號),
所以當 最小時,由x2=2=m2+1,得m=1或m=﹣1,此時點T的坐標為(﹣3,1)或(﹣3,﹣1).
【解析】第(1)問中,由正三角形底邊與高的關系,a2=b2+c2及焦距2c=4建立方程組求得a2 , b2;第(2)問中,先設點的坐標及直線PQ的方程,利用兩點間距離公式及弦長公式將 表示出來,由 取最小值時的條件獲得等量關系,從而確定點T的坐標
【考點精析】掌握橢圓的標準方程是解答本題的根本,需要知道橢圓標準方程焦點在x軸:,焦點在y軸:.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,某人在垂直于水平地面ABC的墻面前的點A處進行射擊訓練.已知點A到墻面的距離為AB,某目標點P沿墻面上的射線CM移動,此人為了準確瞄準目標點P,需計算由點A觀察點P的仰角θ的大。鬉B=15m,AC=25m,∠BCM=30°,則tanθ的最大值是 . (仰角θ為直線AP與平面ABC所成角)
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】改革開放四十周年紀念幣從2018年12月5日起可以開始預約通過市場調(diào)查,得到該紀念章每1枚的市場價單位:元與上市時間單位:天的數(shù)據(jù)如下:
上市時間x天 | 8 | 10 | 32 |
市場價y元 | 82 | 60 | 82 |
根據(jù)上表數(shù)據(jù),從下列函數(shù):;;中選取一個恰當?shù)暮瘮?shù)刻畫改革開放四十周年紀念章的市場價y與上市時間x的變化關系并說明理由
利用你選取的函數(shù),求改革開放四十周年紀念章市場價最低時的上市天數(shù)及最低的價格.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】蘇格蘭數(shù)學家納皮爾發(fā)明了對數(shù)表,這一發(fā)明為當時的天文學家處理“大數(shù)運算”做出了巨大貢獻法國著名數(shù)學家和天文學家拉普拉斯曾說過:“對數(shù)倍增了天文學家的壽命”比如在下面的部分對數(shù)表中,16,256對應的冪指數(shù)分別為4,8,冪指數(shù)和為12,而12對應的冪4096,因此根據(jù)此表,推算( )
x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
2 | 4 | 8 | 16 | 32 | 64 | 128 | 256 | 512 | 1024 | |
x | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
2048 | 4096 | 8192 | 16384 | 32768 | 65536 | 131072 | 262144 | 524288 | 1048576 | |
x | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | |||||
2097152 | 4194304 | 8388608 | 16777216 | 33554432 |
A. 524288 B. 8388608 C. 16777216 D. 33554432
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】設常數(shù)a≥0,函數(shù)f(x)= .
(1)若a=4,求函數(shù)y=f(x)的反函數(shù)y=f﹣1(x);
(2)根據(jù)a的不同取值,討論函數(shù)y=f(x)的奇偶性,并說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】經(jīng)統(tǒng)計某射擊運動員隨機命中的概率可視為,為估計該運動員射擊4次恰好命中3次的概率,現(xiàn)采用隨機模擬的方法,先由計算機產(chǎn)生0到9之間取整數(shù)的隨機數(shù),用0,1,2 沒有擊中,用3,4,5,6,7,8,9 表示擊中,以 4個隨機數(shù)為一組, 代表射擊4次的結果,經(jīng)隨機模擬產(chǎn)生了20組隨機數(shù):
7525,0293,7140,9857,0347,4373,8638,7815,1417,5550
0371,6233,2616,8045,6011,3661,9597,7424,7610,4281
根據(jù)以上數(shù)據(jù),則可估計該運動員射擊4次恰好命中3次的概率為( )
A. B. C. D.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】甲、乙兩袋中各裝有大小相同的小球9個,其中甲袋中紅色、黑色、白色小球的個數(shù)分別為2個、3個、4個,乙袋中紅色、黑色、白色小球的個數(shù)均為3個,某人用左右手分別從甲、乙兩袋中取球.
(1)若左右手各取一球,問兩只手中所取的球顏色不同的概率是多少?
(2)若左右手依次各取兩球,稱同一手中兩球顏色相同的取法為成功取法,記兩次取球的成功取法次數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學期望.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】記max{a,b}= ,設M=max{|x﹣y2+4|,|2y2﹣x+8|},若對一切實數(shù)x,y,M≥m2﹣2m都成立,則實數(shù)m的取值范圍是 .
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