14.一個正三棱柱的正視圖是正方形,且它的外接球的表面積等于$\frac{25π}{3}$,則這個正三棱柱的底面邊長為( 。
A.1B.$\sqrt{2}$C.$\frac{5\sqrt{7}}{7}$D.3

分析 由題設條件可得出正三棱柱的外接球半徑、底面邊長,由于其外接球的球心是棱柱上下底面的中點連線的中點Q,求出Q到棱柱頂點的距離即可求出球的半徑,再由球的表面積公式求出球的表面積即可選出正確選項

解答 解:如圖
設三棱柱的棱長為a,則它的外接球球心O到底面距離為$\frac{1}{2}a$,
由已知設球半徑為r,
∵外接球的表面積等于$\frac{25π}{3}$,
∴4πr2=$\frac{25π}{3}$,解得r2=$\frac{25}{12}$,
如圖,O′A=$\frac{\sqrt{3}}{3}$a,O′A2+O′O2=r2=$\frac{{a}^{2}}{3}+\frac{{a}^{2}}{4}$,
∴a2=$\frac{25}{7}$,a=$\frac{5\sqrt{7}}{7}$
故選:C.

點評 本題考查了球的內接正三棱柱的問題;解決此類問題的關鍵是熟練掌握幾何體的結構特征與及球的定義,在球的內接多面體中一般容易出現(xiàn)直角三角形,進而利用勾股定理解決問題即可.

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