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19.已知定義在R的函數f(x)=ex-e-x,其中e是自然對數的底數.
(1)判斷f(x)奇偶性,并說明理由;
(2)若關于x的不等式f(m-2)+f(cos2x+4sinx)<0在R上恒成立,求實數m的取值范圍.

分析 (1)根據函數奇偶性的定義判斷即可;(2)結合函數的單調性和奇偶性得到m<2-cos2x-4sinx,結合三角函數的性質從而求出m的范圍即可.

解答 解:(1)函數f(x)的定義域是R,
且f(-x)=e-x-ex=-f(x),
∴f(x)是R上的奇函數;
(2)∵f(x)是R上的增函數,
則由f(m-2)+f(cos2x+4sinx)<0,
得:f(m-2)<f(-cos2x-4sinx),
得:m<2-cos2x-4sinx=sin2x-4sinx+1,
因為sinx∈[-1,1],則當sinx=1時,g(x)min=-2,
∴m<-2.

點評 本題考查了函數的單調性、奇偶性問題,考查三角函數的性質,是一道基礎題.

練習冊系列答案
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K2>K0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001
k0.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

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