Question

19．已知定義在R的函數f（x）=e^x-e^-x，其中e是自然對數的底數．
（1）判斷f（x）奇偶性，并說明理由；
（2）若關于x的不等式f（m-2）+f（cos²x+4sinx）＜0在R上恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據函數奇偶性的定義判斷即可；（2）結合函數的單調性和奇偶性得到m＜2-cos²x-4sinx，結合三角函數的性質從而求出m的范圍即可．

解答 解：（1）函數f（x）的定義域是R，
且f（-x）=e^-x-e^x=-f（x），
∴f（x）是R上的奇函數；
（2）∵f（x）是R上的增函數，
則由f（m-2）+f（cos²x+4sinx）＜0，
得：f（m-2）＜f（-cos²x-4sinx），
得：m＜2-cos²x-4sinx=sin²x-4sinx+1，
因為sinx∈[-1，1]，則當sinx=1時，g（x）_min=-2，
∴m＜-2．

點評 本題考查了函數的單調性、奇偶性問題，考查三角函數的性質，是一道基礎題．