Question

7．如圖，AB為圓柱的軸，CD為底面直徑，E為底面圓周上一點，AB=1，CD=2，CE=DE．
求（1）三棱錐A-CDE的全面積；
（2）點D到平面ACE的距離．

Answer 1

分析 （1）先求出AD=$\sqrt{2}$，∠CED=90°，DE=CE=$\sqrt{2}$=AC=AD=AE，由此能求出三棱錐A-CDE的全面積．
（2）設點D到平面ACE的距離為h，由V_A-CDE=V_D-ACE，能求出點D到平面ACE的距離．

解答 解：（1）∵AB為圓柱的軸，CD為底面直徑，E為底面圓周上一點，AB=1，CD=2，CE=DE，
∴AD=$\sqrt{A{B}^{2}+B{D}^{2}}$=$\sqrt{2}$，∠CED=90°，
∴DE=CE=$\sqrt{2}$=AC=AD=AE，
∴三棱錐A-CDE的全面積：
S=S_△CDE+S_△ACD+S_△ACE+S_△ADE
=$\frac{1}{2}$（$\sqrt{2}×\sqrt{2}$+2×1+$\sqrt{2}×\sqrt{2}×sin60°$+$\sqrt{2}×\sqrt{2}×sin60°$）
=$2+\sqrt{3}$．
（2）設點D到平面ACE的距離為h，
由V_A-CDE=V_D-ACE，得$\frac{1}{3}{S}_{△CED}•AB$=$\frac{1}{3}{S}_{△ACE}•h$，
∴h=$\frac{{S}_{△CED}•AB}{{S}_{△ACE}}$=$\frac{\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{2}×1}{\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{2}×sin60°}$=$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$．

點評 本題考查三棱錐的全面積的求法，考查點到平面的距離的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意等體積法的合理運用．