Question

17．已知橢圓Γ的$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）過點(diǎn)（$\sqrt{3}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），離心率為$\frac{1}{2}$．
（1）求橢圓Γ的方程；
（2）過點(diǎn)（1，0）作兩條直線l₁，l₂，其中l(wèi)₁交橢圓Γ于A，B，l₂交橢圓Γ于C，D，若l₁⊥l₂，求四邊形ACBD面積的最小值．

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用橢圓的離心率公式和點(diǎn)滿足橢圓方程，解方程可得a，b，進(jìn)而得到橢圓方程；
（2）分類討論：當(dāng)AB或CD中的一條與x軸垂直而另一條與x軸重合時，此時四邊形ABCD面積S=2b²．當(dāng)直線AC和BD的斜率都存在時，不妨設(shè)直線AC的方程為y=k（x-1），則直線BD的方程為y=-$\frac{1}{k}$（x-1）．分別與橢圓的方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系，利用弦長公式可得|AB|，|CD|．利用四邊形ABCD面積S=$\frac{1}{2}$|AB|•|CD|，即可得到關(guān)于斜率k的式子，再利用配方和二次函數(shù)的最值求法，即可得出．

解答 解：（1）由題意可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，a²-b²=c²，
$\frac{3}{{a}^{2}}$+$\frac{3}{4^{2}}$=1，
解得a=2，b=$\sqrt{3}$，
即有橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（2）由橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1可得a²=4，b²=3，c=$\sqrt{{a}^{2}-^{2}}$=1．
①當(dāng)AB或CD中的一條與x軸垂直而另一條與x軸重合時，
此時四邊形ACBD面積S=$\frac{1}{2}$•2a•$\frac{2^{2}}{a}$=2b²=6．
②當(dāng)直線AB和CD的斜率都存在時，不妨設(shè)直線AB的方程為y=k（x-1），
則直線CD的方程為y=-$\frac{1}{k}$（x-1）．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{3{x}^{2}+4{y}^{2}=12}\end{array}\right.$，化為（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，
∴x₁+x₂=$\frac{8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$．
∴|AB|=$\sqrt{（1+{k}^{2}）[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$
=$\sqrt{（1+{k}^{2}）[（\frac{8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}）^{2}-\frac{16{k}^{2}-48}{3+4{k}^{2}}]}$=$\frac{12（1+{k}^{2}）}{3+4{k}^{2}}$．
把k換成-$\frac{1}{k}$，可得|CD|=$\frac{12（1+{k}^{2}）}{4+3{k}^{2}}$．
∴四邊形ACBD面積S=$\frac{1}{2}$|AB|•|CD|=$\frac{1}{2}$•$\frac{12（1+{k}^{2}）}{3+4{k}^{2}}$•$\frac{12（1+{k}^{2}）}{4+3{k}^{2}}$
=$\frac{1}{2}$•$\frac{144（1+{k}^{2}）^{2}}{12{k}^{4}+25{k}^{2}+12}$=$\frac{1}{2}$•$\frac{144}{-（\frac{1}{1+{k}^{2}}-\frac{1}{2}）^{2}+\frac{49}{4}}$，
當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{1}{1+{k}^{2}}$=$\frac{1}{2}$，即k²=1時，S取得最小值$\frac{288}{49}$．
綜上可知：四邊形ACBD的面積S的最小值是$\frac{288}{49}$．

點(diǎn)評 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系、直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系、弦長公式、四邊形面積計(jì)算公式、二次函數(shù)的最值求法等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于中檔題．