Question

7．在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是矩形，AB=2，BC=1，AA₁=$\sqrt{2}$，E，F(xiàn)分別是C₁D₁，A₁B的中點．
（1）證明：EF⊥A₁C；
（2）求三棱錐A₁-BCE的體積．

Answer 1

分析 （1）取B₁B的中點M，連接C₁M，B₁C，F(xiàn)M，證明：C₁M⊥平面A₁B₁C，可得結(jié)論；
（2）連接D₁C，作C₁N⊥D₁C，則C₁N為C₁到平面A₁C的距離，由等面積可得C₁N，利用轉(zhuǎn)化底面的方法，求出三棱錐A₁-BCE的體積．

解答 （1）證明：取B₁B的中點M，連接C₁M，B₁C，F(xiàn)M，則
四邊形EFMC₁是平行四邊形，所以EF∥C₁M．
由題意，AB=2，BC=1，AA₁=$\sqrt{2}$，可得△C₁B₁M∽△B₁C₁C，
∴C₁M⊥B₁C，
∵A₁B₁⊥平面B₁C，
∴A₁B₁⊥C₁M，
∵A₁B₁∩B₁C=B₁，
∴C₁M⊥平面A₁B₁C，
∵A₁C?平面A₁B₁C，
∴C₁M⊥A₁C，
∴EF⊥A₁C；
（2）解：由題意，A₁B=$\sqrt{6}$，∴${S}_{△{A}_{1}BC}=\frac{1}{2}×\sqrt{6}×1$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$
連接D₁C，作C₁N⊥D₁C，則C₁N為C₁到平面A₁C的距離，由等面積可得C₁N=$\frac{2×\sqrt{2}}{\sqrt{6}}$=$\frac{2}{\sqrt{3}}$，
∴E到平面A₁C的距離為$\frac{1}{\sqrt{3}}$，
∴三棱錐A₁-BCE的體積=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{6}}{2}×\frac{1}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{2}}{6}$．

點評 本題考查線面垂直的判定與性質(zhì)，考查三棱錐體積的計算，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．