Question

19．已知四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是菱形，M是PC的中點，∠PDC=90°，∠PDA=90°，∠DAB=60°
（Ⅰ）證明：PA∥平面BDM；
（Ⅱ）若PD=2，且二面角C-DM-B的平面角的正切值等于$\sqrt{6}$，求三棱錐M-BCD的體積．

Answer 1

分析 （I）如圖所示，連接AC，與BD相交于點O，連接OM．由底面ABCD是菱形，可得AO=OC，利用三角形中位線定理可得：OM∥AP，利用線面平行的判定定理可得PA∥平面BDM；
（II）由∠PDC=90°，∠PDA=90°，可得：PD⊥平面ABCD．取AB的中點E，底面ABCD是菱形，∠DAB=60°，可得DE⊥AB，DC⊥DE．分別以DE，DC，DP，所在直線為坐標軸，建立空間直角坐標系．D-xyz．設(shè)DC=a，設(shè)平面DMB的法向量$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），利用向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系可得$\overrightarrow{m}$．取平面PCD的法向量$\overrightarrow{n}$=（1，0，0）．利用$cos＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞$=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$，設(shè)二面角C-DM-B的平面角為θ，由圖可知：θ為銳角．由$tanθ=\sqrt{6}$，可得cosθ=$\frac{1}{\sqrt{7}}$．解得a．利用三棱錐M-BCD的體積=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}PD•{S}_{△BCD}$．

解答 （I）證明：如圖所示，連接AC，與BD相交于點O，連接OM．
∵底面ABCD是菱形，
∴AO=OC，
又M是PC的中點，
∴OM∥AP，
又AP?平面BDM，OM?平面BDM．
∴PA∥平面BDM；
（II）解：∵∠PDC=90°，∠PDA=90°，
∴PD⊥DC，PD⊥DA，AD∩DC=D，
∴PD⊥平面ABCD．
取AB的中點E，∵底面ABCD是菱形，
∠DAB=60°，
則DE⊥AB，
∵DC∥AB，
∴DC⊥DE．分別以DE，DC，DP，所在直線為坐標軸，建立空間直角坐標系．D-xyz．
設(shè)DC=a，則P（0，0，2），C（0，a，0），M$（0，\frac{a}{2}，1）$，B$（\frac{\sqrt{3}}{2}a，\frac{\sqrt{3}}{2}a，0）$．
$\overrightarrow{DM}$=$（0，\frac{a}{2}，1）$，$\overrightarrow{DB}$=$（\frac{\sqrt{3}}{2}a，\frac{\sqrt{3}}{2}a，0）$．
設(shè)平面DMB的法向量$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{DM}=\frac{a}{2}y+z=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{DB}=\frac{\sqrt{3}}{2}ax+\frac{\sqrt{3}}{2}ay=0}\end{array}\right.$，取$\overrightarrow{m}$=$（1，-1，\frac{a}{2}）$．
取平面PCD的法向量$\overrightarrow{n}$=（1，0，0）．
∴$cos＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞$=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{\sqrt{2+\frac{{a}^{2}}{4}}}$，
設(shè)二面角C-DM-B的平面角為θ，由圖可知：θ為銳角．
∵$tanθ=\sqrt{6}$，
∴cosθ=$\frac{1}{\sqrt{7}}$．
∴$\frac{1}{\sqrt{2+\frac{{a}^{2}}{4}}}$=$\frac{1}{\sqrt{7}}$，
∴$2+\frac{{a}^{2}}{4}$=7，
解得a=$2\sqrt{5}$．
∴S_△BCD=$\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^{2}$=5$\sqrt{3}$．
∴三棱錐M-BCD的體積=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}PD•{S}_{△BCD}$=$\frac{1}{6}×2×5\sqrt{3}$=$\frac{5\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題考查了菱形的性質(zhì)、三角形中位線定理、線面平行與垂直的判定與性質(zhì)定理、法向量的夾角與二面角的關(guān)系、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式、三棱錐的體積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．