Question

12．如圖，ABCD是正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE=DA=3AF．
（Ⅰ） 求證：AC⊥BE；
（Ⅱ） 求面FBE和面DBE所形成的銳二面角的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通過(guò)DE⊥平面ABCD，證明DE⊥AC，推出AC⊥平面BDE，然后證明 AC⊥BE．
（Ⅱ）以DA，DC，DE為坐標(biāo)軸，建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz，設(shè)AD=3，求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，平面BEF的法向量，平面BDE的法向量，通過(guò)向量的數(shù)量積求解面FBE和面DBE所形成的銳二面角的余弦值．

解答 （Ⅰ）證明：因?yàn)镈E⊥平面ABCD，
所以DE⊥AC．…（1分）
因?yàn)锳BCD是正方形，
所以AC⊥BD，
所以AC⊥平面BDE，…（3分）
從而 AC⊥BE．…（4分）
（Ⅱ）解：因?yàn)镈A，DC，DE兩兩垂直，
所以建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz如圖所示．…（5分）
設(shè)AD=3，可知DE=3，AF=1．…（6分）
則D（0，0，0），A（3，0，0），F(xiàn)（3，0，1），E（0，0，3），B（3，3，0），C（0，3，0），
所以$\overrightarrow{BF}=（0，-3，1）$，$\overrightarrow{EF}=（3，0-2）$，…（7分）
設(shè)平面BEF的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），則$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BF}=0\\ \overrightarrow{n}•\overrightarrow{EF}=0\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}-3y+z=0\\ 3x-2z=0\end{array}\right.$，
令z=3，則$\overrightarrow{n}$=（2，1，3）．…（10分）
因?yàn)锳C⊥平面BDE，所以$\overrightarrow{CA}$為平面BDE的法向量，$\overrightarrow{CA}=（3，-3，0）$，
所以cos$＜\overrightarrow{n}，\overrightarrow{CA}＞$=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CA}}{\left|\overrightarrow{n}\right|\left|\overrightarrow{CA}\right|}$=$\frac{\sqrt{7}}{14}$  …（12分）
所以面FBE和面DBE所形成的銳二面角的余弦值為$\frac{\sqrt{7}}{14}$．…（13分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與平面垂直的判斷與性質(zhì)，二面角的平面角的求法，考查空間想象能力以及計(jì)算能力．