Question

13．在平面直角坐標(biāo)系中，直線l的參數(shù)方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=1+t}\\{y=t-3}\end{array}}\right.$（t為參數(shù)），在以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C的極坐標(biāo)方程為$ρ=\frac{2cosθ}{{{{sin}^2}θ}}$．
（1）求曲線C的直角坐標(biāo)方程和直線l的普通方程；
（2）若直線l與曲線C相交于A、B兩點(diǎn)，求△AOB的面積．

Answer 1

分析 （1）將直線l的參數(shù)方程中兩式相減可得直線l的普通方程；由ρ²sin²θ=2ρcosθ，代入x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得曲線C的直角坐標(biāo)方程；
（2）聯(lián)立直線l和曲線C的普通方程，解方程可得交點(diǎn)A，B，運(yùn)用兩點(diǎn)的距離公式和點(diǎn)到直線的距離公式，結(jié)合三角形的面積公式，計(jì)算即可得到所求值．

解答 解：（1）直線l的參數(shù)方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=1+t}\\{y=t-3}\end{array}}\right.$（t為參數(shù)），
兩式相減可得x-y=4，即有直線l的普通方程為x-y-4=0：
曲線C的極坐標(biāo)方程為$ρ=\frac{2cosθ}{{{{sin}^2}θ}}$，即ρ²sin²θ=2ρcosθ，
代入x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得y²=2x；
（2）聯(lián)立方程x-y-4=0和方程y²=2x，
消去y，可得x²-10x+16=0，
解得x₁=2，x₂=8，
可得交點(diǎn)A（2，-2），B（8，4），
即有|AB|=$\sqrt{（2-8）^{2}+（-2-4）^{2}}$=6$\sqrt{2}$，
O到直線l的距離為d=$\frac{|0-0-4|}{\sqrt{2}}$=2$\sqrt{2}$，
則△AOB的面積為S=$\frac{1}{2}$d•|AB|=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{2}$×6$\sqrt{2}$=12．

點(diǎn)評(píng) 本題考查極坐標(biāo)方程、參數(shù)方程化為直角坐標(biāo)方程，注意運(yùn)用極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化公式和代入法，考查直線和拋物線方程聯(lián)立，求交點(diǎn)，運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．