【題目】2015年春,某地干旱少雨,農(nóng)作物受災(zāi)嚴重,為了使今后保證農(nóng)田灌溉,當(dāng)?shù)卣疀Q定建一橫斷面為等腰梯形的水渠(水渠的橫斷面如圖所示),為減少水的流失量,必須減少水與渠壁的接觸面,若水渠橫斷面的面積設(shè)計為定值S,渠深為h,則水渠壁的傾斜角α(0<α< )為多大時,水渠中水的流失量最。
【答案】解:作BE⊥DC于E,在Rt△BEC中,BC= ,CE=hcotα,又AB﹣CD=2CE=2hcotα,AB+CD= ,故CD= ﹣hcotα.
設(shè)y=AD+DC+BC,則y= ﹣hcotα+ = + (0<α< ),
由于S與h是常量,欲使y最小,只需u= 取最小值,u可看作(0,2)與(﹣sinα,cosα)兩點連線的斜率,由于α∈(0, ),點(﹣sinα,cosα)在曲線x2+y2=1(﹣1<x<0,0<y<1)上運動,當(dāng)過(0,2)的直線與曲線相切時,直線斜率最小,此時切點為(﹣ , ),則有sinα= ,且cosα= ,那么α= ,
故當(dāng)α= 時,水渠中水的流失量最。
【解析】由題意可得作BE⊥DC于E,在Rt△BEC中,求得BC= ,CE=hcotα,又AB﹣CD=2CE=2hcotα,AB+CD= ,故CD= S h ﹣hcotα.
設(shè)y=AD+DC+BC則y= ﹣hcotα+ = + (0<α< )當(dāng)取最小值兩點連線的斜率,由于α∈(0, ),點(﹣sinα,cosα)在曲線x2+y2=1(﹣1<x<0,0<y<1)上運動當(dāng)過(0,2)的直線與曲線相切時,直線斜率最小,此時切點為(﹣ , ),則有sinα= ,且cosα= ,那么α= ,故當(dāng)α= 時,水渠中水的流失量最。
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解基本不等式在最值問題中的應(yīng)用的相關(guān)知識,掌握用基本不等式求最值時(積定和最小,和定積最大),要注意滿足三個條件“一正、二定、三相等”.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知拋物線y2=﹣x與直線y=k(x+1)相交于A、B兩點.
(1)求證:OA⊥OB;
(2)當(dāng)△OAB的面積等于 時,求k的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=loga(1﹣x)+loga(x+3)(a>0,且a≠1)
(1)求函數(shù)f(x)的定義域和值域;
(2)若函數(shù) f(x)有最小值為﹣2,求a的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知定義在[0,+∞)上的函數(shù)f(x)滿足f(x)=3f(x+2),當(dāng)x∈[0,2)時,f(x)=﹣x2+2x.設(shè)f(x)在[2n﹣2,2n)上的最大值為an(n∈N*) , 且{an}的前n項和為Sn , 則Sn的取值范圍是( )
A.[1, )
B.[1, ]
C.[ ,2)
D.[ ,2]
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)當(dāng)時,求在區(qū)間上的最值;
(2)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(3)當(dāng)時,有恒成立,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐A﹣BCD中,△ABD,△BCD均為正三角形,且平面ABD⊥平面BCD,點O,M分別為棱BD,AC的中點,則異面直線AB與OM所成角的余弦值為( )
A.
B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某種產(chǎn)品的廣告費支出x與銷售額y(單位:百萬元)之間有如下對應(yīng)數(shù)據(jù):
x | 2 | 4 | 5 | 6 | 8 |
y | 30 | 40 | 60 | 50 | 70 |
參考公式:b= = .
(1)畫出散點圖;
(2)求回歸直線方程;
(3)試預(yù)測廣告費支出為10百萬元時,銷售額多大?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,已知直二面角α﹣AB﹣β,P∈α,Q∈β,PQ與平面α,β所成的角都為30°,PQ=4,PC⊥AB,C為垂足,QD⊥AB,D為垂足,求:
(1)直線PQ與CD所成角的大小
(2)四面體PCDQ的體積.
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