【題目】已知拋物線y2=﹣x與直線y=k(x+1)相交于A、B兩點(diǎn).
(1)求證:OA⊥OB;
(2)當(dāng)△OAB的面積等于 時(shí),求k的值.

【答案】
(1)證明:由方程y2=﹣x,y=k(x+1)

消去x后,整理得

ky2+y﹣k=0.

設(shè)A(x1,y1)、B(x2,y2),由韋達(dá)定理y1y2=﹣1.

∵A、B在拋物線y2=﹣x上,

∴y12=﹣x1,y22=﹣x2,y12y22=x1x2

∵kOAkOB= = = =﹣1,

∴OA⊥OB.


(2)解:設(shè)直線與x軸交于N,又顯然k≠0,

∴令y=0,則x=﹣1,即N(﹣1,0).

∵SOAB=SOAN+SOBN

= |ON||y1|+ |ON||y2|

= |ON||y1﹣y2|,

∴SOAB= 1

=

∵SOAB= ,

= .解得k=±


【解析】(1)證明OA⊥OB可有兩種思路:①證kOAkOB=﹣1;②取AB中點(diǎn)M,證|OM|= |AB|.(2)求k的值,關(guān)鍵是利用面積建立關(guān)于k的方程,求△AOB的面積也有兩種思路:①利用SOAB= |AB|h(h為O到AB的距離);②設(shè)A(x1 , y1)、B(x2 , y2),直線和x軸交點(diǎn)為N,利用SOAB= |ON||y1﹣y2|.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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B.向左平移
C.向右平移
D.向左平移

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A.
B.
C.
D.

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