Question

1．已知點F是雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左焦點，點E是該雙曲線的右頂點，過點F且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A，B兩點，若△ABE是鈍角三角形，則該雙曲線的離心率的取值范圍是（　�。�

• A． （1，$\sqrt{2}$）
• B． （$\sqrt{2}$，+∞）
• C． （1，2）
• D． （2，+∞）

Answer 1

分析 利用雙曲線的對稱性可得∠AEB是鈍角，得到AF＞EF，求出AF，CF得到關于a，b，c的不等式，求出離心率的范圍．

解答 解：∵雙曲線關于x軸對稱，且直線AB垂直x軸，
∴∠AEF=∠BEF，
∵△ABE是鈍角三角形，
∴∠AEB是鈍角，
即有AF＞EF，
∵F為左焦點，過F且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A、B兩點，
∴AF=$\frac{^{2}}{a}$，
∵EF=a+c
∴$\frac{^{2}}{a}$＞a+c，即c²-ac-2a²＞0，
由e=$\frac{c}{a}$，可得e²-e-2＞0，
解得e＞2或e＜-1，（舍去），
則雙曲線的離心率的范圍是（2，+∞）．
故選：D．

點評 本題考查雙曲線的對稱性、雙曲線的三參數(shù)關系：c²=a²+b²，雙曲線的離心率問題就是研究三參數(shù)a，b，c的關系．