Question

10．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n•a_n+1=a_n²+a_n+2（n∈N^*）．
（1）證明：a_n+1＞a_n；
（2）證明：當(dāng)n≥2時(shí)，n+2≤a_n≤$\frac{3}{2}$n+1．

Answer 1

分析 （1）首先可判斷a_n＞0恒成立；從而化簡可得a_n+1-a_n=$\frac{2}{{a}_{n}}$+1＞0，從而證明；
（2）可求得當(dāng)n≥2時(shí)，a_n≥4，從而可得1＜$\frac{2}{{a}_{n}}$+1≤1+$\frac{2}{4}$=$\frac{3}{2}$，從而可依次列出1＜a₃-a₂≤$\frac{3}{2}$，1＜a₄-a₃≤$\frac{3}{2}$，1＜a₅-a₄≤$\frac{3}{2}$，…，從而利用累加法證明．

解答 證明：（1）∵a₁=1，a_n•a_n+1=a_n²+a_n+2，
∴a_n＞0恒成立；
∴a_n+1=a_n+$\frac{2}{{a}_{n}}$+1，
∴a_n+1-a_n=$\frac{2}{{a}_{n}}$+1＞0，
∴a_n+1＞a_n；
（2）∵a₁=1，
∴a₂=1+$\frac{2}{1}$+1=4，
又∵a_n+1＞a_n，
∴當(dāng)n≥2時(shí)，a_n≥4，
故1＜$\frac{2}{{a}_{n}}$+1≤1+$\frac{2}{4}$=$\frac{3}{2}$，
故1＜a₃-a₂≤$\frac{3}{2}$，
1＜a₄-a₃≤$\frac{3}{2}$，
1＜a₅-a₄≤$\frac{3}{2}$，
…
1＜a_n-a_n-1≤$\frac{3}{2}$，
累加得，
n-2＜a_n-a₂≤$\frac{3}{2}$（n-2），
即n-2+4＜a_n≤$\frac{3}{2}$（n-2）+4，
故n+2≤a_n≤$\frac{3}{2}$n+1．

點(diǎn)評 本題考查了數(shù)列的性質(zhì)的判斷與應(yīng)用，同時(shí)考查了放縮法證明不等式的方法應(yīng)用．