Question

某公司為了加大產(chǎn)品的宣傳力度，準備立一塊廣告牌，在其背面制作一個形如△ABC的支架，要求∠ACB=60°，BC的長度大于1米，且AC比AB長0.5米．為節(jié)省材料，要求AC的長度越短越好．求AC的最短長度，且當AC最短時，BC的長度為多少米？

Answer 1

【答案】分析：把三角形的三邊用未知數(shù)表示出來，利用余弦定理建立方程，將AC的長度表示成BC長度的函數(shù)，（題目中要求求AC的最小值）然后再根據(jù)題目條件確定求最值的方法，一般選用單調(diào)性法或者用基本不等式，本題所建立的函數(shù)關(guān)系可以用這兩種方法求最值，故給出了兩種求最值的方法．
解答：解：設(shè)BC=x米（x＞1），AC=y米，則AB=y-．在△ABC中，
由余弦定理，得（y-）²=y²+x²-2xycos60°．所以y=（x＞1）．
法一：y==（x-1）++2≥2+．
當且僅當x-1=，即x=1+時，y有最小值2+．
法二：y′==．
由y′=0得x=1+．因為當1＜x＜1+時，y′＜0；當x＞1+時，y′＞0，
所以當x=1+時，y有最小值2+．
答：AC的最短長度為2+米，此時BC的長度為（1+）米．
點評：本題考查余弦定理的應(yīng)用，以之建立相關(guān)的函數(shù)，請答題者在做完這個題后，注意總結(jié)本題轉(zhuǎn)化的經(jīng)驗，在求最值時要根據(jù)所給函數(shù)的形式靈活選用求最值的方法．