Question

8．已知函數(shù)f（x）=1-ax+lnx，
（1）若函數(shù)在x=2處的切線斜率為-$\frac{1}{2}$，求實(shí)數(shù)a的值；
（2）若存在x∈（0，+∞）使f（x）≥0成立，求實(shí)數(shù)a的范圍；
（3）證明對于任意n∈N，n≥2有：$\frac{ln2}{2^2}+\frac{ln3}{3^2}+\frac{ln4}{4^2}+…+\frac{lnn}{n^2}＜\frac{n^2}{{2（{n+1}）}}-\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 （1）由已知：f′（x）=$\frac{1}{x}$-a，由題知f′（2）=$\frac{1}{2}$-a=-$\frac{1}{2}$，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出a；
（2）分類討論，確定函數(shù)的單調(diào)性，利用存在x∈（0，+∞）使f（x）≥0成立，求實(shí)數(shù)a的范圍；
（3）要證明$\frac{ln2}{2^2}+\frac{ln3}{3^2}+\frac{ln4}{4^2}+…+\frac{lnn}{n^2}＜\frac{n^2}{{2（{n+1}）}}-\frac{1}{4}$（n∈N^*．n≥2），只須證$\frac{ln{2}^{2}}{{2}^{2}}+\frac{ln{3}^{2}}{{3}^{2}}$+…+$\frac{ln{n}^{2}}{{n}^{2}}$＜$\frac{2{n}^{2}-n-1}{2（n+1）}$．由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)和裂項(xiàng)求和法進(jìn)行證明即可．

解答 （1）解：求導(dǎo)數(shù)：f′（x）=$\frac{1}{x}$-a，
∴f′（2）=$\frac{1}{2}$-a=-$\frac{1}{2}$，解得a=1．
（2）解：f′（x）=$\frac{1}{x}$-a
當(dāng)a≤0，f′（x）＞0，x∈（0，+∞），f （x）單調(diào)遞增，f（x）≥0成立；
當(dāng)a＞0時(shí)，x∈（0，$\frac{1}{a}$）時(shí)，f′（x）＞0，f （x）為增函數(shù)，當(dāng)x∈（$\frac{1}{a}$，+∞）時(shí)，f′（x）＜0，f （x）為減函數(shù)，
即f （x）_max=f（$\frac{1}{a}$）=ln$\frac{1}{a}$，
∴l(xiāng)n$\frac{1}{a}$≥0，
∴0＜a≤1，
綜上a≤1；
（3）證明：要證明$\frac{ln2}{2^2}+\frac{ln3}{3^2}+\frac{ln4}{4^2}+…+\frac{lnn}{n^2}＜\frac{n^2}{{2（{n+1}）}}-\frac{1}{4}$（n∈N^*．n≥2），
只須證$\frac{ln{2}^{2}}{{2}^{2}}+\frac{ln{3}^{2}}{{3}^{2}}$+…+$\frac{ln{n}^{2}}{{n}^{2}}$＜$\frac{2{n}^{2}-n-1}{2（n+1）}$．
由（1）當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，f′（x）＜0，f （x）為減函數(shù)，
f （x）=lnx-x+1≤0，即lnx≤x-1，
∴當(dāng)n≥2時(shí)，lnn²＜n²-1，
∴$\frac{ln{n}^{2}}{{n}^{2}}$＜$\frac{{n}^{2}-1}{{n}^{2}}$＜1-$\frac{1}{n（n+1）}$=1-$\frac{1}{n}$+$\frac{1}{n+1}$，
∴$\frac{ln{2}^{2}}{{2}^{2}}+\frac{ln{3}^{2}}{{3}^{2}}$+…$\frac{ln{n}^{2}}{{n}^{2}}$＜（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2+1}$）+（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3+1}$）+…+（1-$\frac{1}{n}$+$\frac{1}{n+1}$）
=n-1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{n+1}$=$\frac{2{n}^{2}-n-1}{2（n+1）}$，
∴$\frac{ln2}{2^2}+\frac{ln3}{3^2}+\frac{ln4}{4^2}+…+\frac{lnn}{n^2}＜\frac{n^2}{{2（{n+1}）}}-\frac{1}{4}$（n∈N^*，n≥2）．

點(diǎn)評 本題主要考查極值的概念、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識，同時(shí)考查推理論證能力，分類討論等綜合解題能力．