Question

20．在平面直角坐標系xOy中，已知圓O₁，圓O₂均與x軸相切，且圓O₁，O₂都在射線y=mx（m＞0，x＞0）上．
（1）若O₁的坐標為（3，1），過直線x-y+2=0上的一點P作圓O₁的切線，切點分別為A，B兩點，求PA長度的最小值；
（2）若圓O₁，圓O₂的半徑之積為2，Q（2，2）是兩圓的一個公共點，求兩圓的另一條公切線的方程．

Answer 1

分析 （1）利用PA=$\sqrt{{O}_{1}{P}^{2}-1}$，可得O₁P取最小值時，PA有最小值，
（2）圓O₁，O₂的坐標可設(shè)為O₁（$\frac{{r}_{1}}{m}$，r₁），O₂（$\frac{{r}_{2}}{m}$，r₂），確定r₁、r₂是r²-4m（m+1）r₁+8m²=0的兩個根，利用圓O₁，圓O₂的半徑之積為2，求出m，即可求兩圓的另一條公切線的方程．

解答 解：（1）由題意，圓O₁的半徑r=1，所以PA=$\sqrt{{O}_{1}{P}^{2}-1}$，
所以O(shè)₁P取最小值時，PA有最小值，
O₁到直線x-y+2=0的距離d=$\frac{|3-1+2|}{\sqrt{2}}$=2$\sqrt{2}$，所以O(shè)₁P最小值為2$\sqrt{2}$，
所以PA長度的最小值為$\sqrt{7}$；
（2）因為圓O₁，O₂都在射線y=mx（m＞0，x＞0）上，
所以圓O₁，O₂的坐標可設(shè)為O₁（$\frac{{r}_{1}}{m}$，r₁），O₂（$\frac{{r}_{2}}{m}$，r₂），
因為Q（2，2）是兩圓的一個公共點，
所以（2-$\frac{{r}_{1}}{m}$）²+（2-r₁）²=r₁²，（2-$\frac{{r}_{2}}{m}$）²+（2-r₂）²=r₂²，
所以r₁²-4m（m+1）r₁+8m²=0，r₂²-4m（m+1）r₂+8m²=0，
所以r₁、r₂是r²-4m（m+1）r₁+8m²=0的兩個根，
因為r₁r₂=8m²=2（m＞0），所以m=$\frac{1}{2}$，
因為兩圓的另一條公切線的傾斜角是直線OO₁的傾斜角的兩倍，
所以兩圓的另一條公切線的斜率為$\frac{2m}{1-{m}^{2}}$=$\frac{4}{3}$，
所以兩圓的另一條公切線的方程y=$\frac{4}{3}$x．

點評 本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查韋達定理的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．