Question

7．已知函數(shù)f（x）=$\frac{bx}{a{x}^{2}+c}$，f′（0）=9，其中a＞0，b，c∈R，且b+c=10．
（1）求b，c的值及函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若0＜a≤1，求證：當(dāng)x＞1時，（x³+1）f（x）＞9+lnx．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，由條件列方程，可得b=9，c=1，由a＞0，令導(dǎo)數(shù)大于0，可得增區(qū)間；令導(dǎo)數(shù)小于0，可得減區(qū)間；
（2）當(dāng)x＞1時，（x³+1）f（x）＞9+lnx．即為f（x）＞$\frac{9+lnx}{1+{x}^{3}}$在x＞1成立，分別求得f（x）的最值和g（x）=$\frac{9+lnx}{1+{x}^{3}}$的最值，即可得證．

解答 （1）解：f（x）=$\frac{bx}{a{x}^{2}+c}$，
f'（x）=$\frac{-ab{x}^{2}+9}{（a{x}^{2}+1）^{2}}$，f′（0）=9，且b+c=10，
∴c=1，b=9，f'（x）=$\frac{-9a{x}^{2}+9}{（a{x}^{2}+1）^{2}}$，a＞0，
當(dāng)x∈（-$\frac{\sqrt{a}}{a}$，$\frac{\sqrt{a}}{a}$）時，f'（x）＞0，f（x）遞增；
當(dāng)x∈（-∞，-$\frac{\sqrt{a}}{a}$）和（$\frac{\sqrt{a}}{a}$，+∞）時，f'（x）＜0，f（x）遞減；
（2）證明：當(dāng)x＞1時，（x³+1）f（x）＞9+lnx．即為f（x）＞$\frac{9+lnx}{1+{x}^{3}}$在x＞1成立，
由g（x）=$\frac{9+lnx}{1+{x}^{3}}$的導(dǎo)數(shù)為g'（x）=$\frac{\frac{1}{x}-26{x}^{2}-3{x}^{2}lnx}{（1+{x}^{3}）^{2}}$＜0，
即有g(shù)（x）在x＞1遞減，則g（x）＜g（1）=$\frac{9}{2}$；
由（1）可得f（x）在（1，$\frac{\sqrt{a}}{a}$）時，f（x）遞增；
（$\frac{\sqrt{a}}{a}$，+∞）時，f（x）遞減．
x=1時f（1）=$\frac{9}{1+a}$≥$\frac{9}{2}$，
可得x=$\frac{1}{\sqrt{a}}$處取得最大值，即為$\frac{9}{2\sqrt{a}}$＞$\frac{9}{2}$，
又（$\frac{\sqrt{a}}{a}$，+∞）時，f（x）＞g（x）．
則有當(dāng)x＞1時，（x³+1）f（x）＞9+lnx．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運用：求單調(diào)區(qū)間和極值、最值，考查不等式的恒成立問題的解法，注意運用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求得單調(diào)性，考查運算能力，屬于中檔題．