Question

若n∈N^*，且n為奇數(shù)，則6ⁿ+C_n¹•6^n-1+C_n²•6^n-2+…+C_n^n-1•6被8除所得的余數(shù)是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：二項(xiàng)式定理的應(yīng)用

專題：二項(xiàng)式定理

分析：所給的等式即（6+1）ⁿ-1=7ⁿ-1=（8-1）ⁿ-1，再用二項(xiàng)式定理展開(kāi)，可得它除以8的余數(shù)．

解答： 解：∵n為奇數(shù)，6ⁿ+C_n¹•6^n-1+C_n²•6^n-2+…+C_n^n-1•6+1-1=（6+1）ⁿ-1=7ⁿ-1=（8-1）ⁿ-1
=

C

0 n

•8ⁿ-

C

1 n

•8^n-1+

C

2 n

•8^n-2-…+

C

n-1 n

•8-

C

n n

-1=

C

0 n

•8ⁿ-

C

1 n

•8^n-1+

C

2 n

•8^n-2-…+

C

n-1 n

•8-2，
顯然只有最后一項(xiàng)-2不能被8整除，故6ⁿ+C_n¹•6^n-1+C_n²•6^n-2+…+C_n^n-1•6被8除所得的余數(shù)，
即-2除以8的余數(shù)，為6，
故答案為：6．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，屬于基礎(chǔ)題．