Question

16．已知函數(shù)數(shù)列{a_n}，a₁=1，${a}_{n-1}=\frac{5{a}_{n}}{{a}_{n}+5}$，則數(shù)列{a_n}的通項a_n=$\frac{5}{6-n}$．

Answer 1

分析 根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系，利用取倒數(shù)法進行求解即可．

解答 解：∵a₁=1，${a}_{n-1}=\frac{5{a}_{n}}{{a}_{n}+5}$，
∴取倒數(shù)得$\frac{1}{{a}_{n-1}}$=$\frac{{a}_{n}+5}{5{a}_{n}}$=$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{{a}_{n}}$，
即$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{{a}_{n-1}}$=-$\frac{1}{5}$，
即數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是以公差d=-$\frac{1}{5}$，首項為$\frac{1}{{a}_{1}}=1$的等差數(shù)列，
則$\frac{1}{{a}_{n}}$=1-$\frac{1}{5}$（n-1）=$\frac{6-n}{5}$，
∴數(shù)列{a_n}的通項a_n=$\frac{5}{6-n}$，
故答案為：$\frac{5}{6-n}$．

點評 本題主要考查數(shù)列通項公式的求解，利用數(shù)列的遞推關(guān)系，利用取倒數(shù)法是解決本題的關(guān)鍵．