Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x²+aln（x+2）、g（x）=xe^x，且f（x）存在兩個極值點(diǎn)x₁、x₂，其中x₁＜x₂．
（Ⅰ）求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）求g（x₁-x₂）的最小值；
（Ⅲ）證明不等式：

f(x1)

x2

＜-1．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）f（x）存在兩個極值點(diǎn)，等價于其導(dǎo)函數(shù)有兩個相異零點(diǎn)；
（Ⅱ）先找出（x₁-x₂）的取值范圍，再利用g（x）的導(dǎo)函數(shù)可找出最小值；
（Ⅲ）適當(dāng)構(gòu)造函數(shù)，并注意x₁與x₂的關(guān)系，轉(zhuǎn)化為函數(shù)求最大值問題，證明相關(guān)不等式．

解答： 解：（Ⅰ）由題：f′(x)=2x+

a

x+2

(x＞-2)
∵函數(shù)f（x）存在兩個極值點(diǎn)x₁、x₂，且x₁＜x₂
∴關(guān)于x的方程2x+

a

x+2

=0即2x²+4x+a=0在（-2，+∞）內(nèi)有不等二實(shí)根
令S（x）=2x²+4x（x＞-2）、T（x）=-a，則

由圖象可得-2＜-a＜0即0＜a＜2
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是（0，2）．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知

x1+x2=-2 -2＜x1＜-1

，
∴x₁-x₂=x₁-（-2-x₁）=2x₁+2，
∴-2＜x₁-x₂＜0，
由g（x）=xe^x得g'（x）=（x+1）e^x，
∴當(dāng)x∈（-2，-1）時，g'（x）＜0，即g（x）在（-2，-1）單調(diào)遞減；
當(dāng)x∈（-1，0）時，g'（x）＞0，即g（x）在（-1，0）單調(diào)遞增；
∴g(x1-x2)min=g(-1)=-

1

e

；
（Ⅲ）由（Ⅰ）知

a=2x1x2 x1=-2-x2 -1＜x2＜0

，
∴

f(x1)

x2

=

x 2 1 +aln(x1+2)

x2

=x2+

4

x2

-2(x2+2)ln(-x2)+4，
令-x₂=x，則0＜x＜1且

f(x1)

x2

=-x-

4

x

+2(x-2)lnx+4，
令F(x)=-x-

4

x

+2(x-2)lnx+4(0＜x＜1)，則F′(x)=-1+

4

x2

+2lnx+

2(x-2)

x

=

4

x2

-

4

x

+2lnx+1(0＜x＜1)，
∴F″(x)=-

8

x3

+

4

x2

+

2

x

=

2(x2+2x-4)

x3

，
∵0＜x＜1，
∴F''（x）＜0即F'（x）在（0，1）上是減函數(shù)，
∴F'（x）＞F'（1）=1＞0，
∴F（x）在（0，1）上是增函數(shù)，
∴F（x）＜F（1）=-1即

f(x1)

x2

＜-1．

點(diǎn)評：本題考查導(dǎo)函數(shù)，函數(shù)的單調(diào)性，最值，不等式證明，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．