Question

2．已知三棱錐P-ABC中，底面△ABC為等邊三角形，且PA=8，PB=PC=$\sqrt{73}$，AB=3，則三棱錐P-ABC外接球的體積為$\frac{76\sqrt{19}}{3}π$．

Answer 1

分析 由已知推導出PA⊥平面ABC，從而求出△ABC的外接圓的半徑，進而求出三棱錐P-ABC外接球的半徑，由此能求出三棱錐P-ABC外接球的體積．

解答 解：∵三棱錐P-ABC中，底面△ABC為等邊三角形，且PA=8，PB=PC=$\sqrt{73}$，AB=3，
∴由題意，PA⊥AB，PA⊥AC，
∴PA⊥平面ABC，
△ABC的外接圓的半徑為3$\sqrt{3}$×$\sqrt{3}$=3，
設三棱錐P-ABC外接球的半徑為R，則R²=（$\sqrt{3}$）2+4²=19，
∴三棱錐P-ABC外接球的體積為V=$\frac{4}{3}π{R}^{3}$=$\frac{4}{3}π×（\sqrt{19}）^{3}$=$\frac{76\sqrt{19}}{3}$π．
故答案為：$\frac{76\sqrt{19}}{3}$π．

點評 本題考查三棱錐P-ABC外接球的體積的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．