Question

6．在平面直角坐標系xOy中，C₁：$\left\{\begin{array}{l}{x=t}\\{y=k（t-1）}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），以原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，已知曲線C₂：ρ²+10ρcosθ-6ρsinθ+33=0．
（1）求C₁的普通方程及C₂的直角坐標方程，并說明它們分別表示什么曲線；
（2）若P，Q分別為C₁，C₂上的動點，且|PQ|的最小值為2，求k的值．

Answer 1

分析 （1）C₁：$\left\{\begin{array}{l}{x=t}\\{y=k（t-1）}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），消去參數(shù)t可得：y=k（x-1），利用點斜式即可得出表示一條直線．曲線C₂：ρ²+10ρcosθ-6ρsinθ+33=0，由互化公式可得：x²+y²+10x+6y+33=0，配方即可得出表示的曲線是圓．
（2）利用點到直線的距離公式公式可得圓心到直線的距離d，利用d-r=2即可得出．

解答 解：（1）C₁：$\left\{\begin{array}{l}{x=t}\\{y=k（t-1）}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），消去參數(shù)t可得：y=k（x-1），
表示經(jīng)過點（1，0），斜率為k的一條直線．
曲線C₂：ρ²+10ρcosθ-6ρsinθ+33=0，
由互化公式可得：x²+y²+10x-6y+33=0，
配方為（x+5）²+（y-3）²=1，表示以（-5，3）為圓心，1為半徑的圓．
（2）圓心（-5，3）到直線的距離d=$\frac{|-5k-3-k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\frac{|6k+3|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
∴$\frac{|6k+3|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$-1=2，化為：3k²+4k=0，
解得k=-$\frac{4}{3}$或0．

點評 本題考查了參數(shù)方程化為普通方程、極坐標與直角坐標的互化、點到直線的距離公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．