Question

16．某廠生產(chǎn)不同規(guī)格的一種產(chǎn)品，根據(jù)檢測標(biāo)準(zhǔn)，其合格產(chǎn)品的質(zhì)量y（g）與尺寸x（mm）之間近似滿足關(guān)系式y(tǒng)=ax^b（a，b為大于0的常數(shù)）．現(xiàn)隨機(jī)抽取6件合格產(chǎn)品，測得數(shù)據(jù)如下：

尺寸（mm）	38	48	58	68	78	88
質(zhì)量（g）	16.8	18.8	20.7	22.4	24.0	25.5

對數(shù)據(jù)作了初步處理，相關(guān)統(tǒng)計(jì)量的值如下表：

$\sum_{i=1}^6{（{ln{x_i}•ln{y_i}}）}$	$\sum_{i=1}^6{（{ln{x_i}}）}$	$\sum_{i=1}^6{（{ln{y_i}}）}$	${\sum_{i=1}^6{{{（{ln{x_i}}）}^2}}^{\;}}$
75.3	24.6	18.3	101.4

（Ⅰ）根據(jù)所給數(shù)據(jù)，求y關(guān)于x的回歸方程；
（Ⅱ）按照某項(xiàng)指標(biāo)測定，當(dāng)產(chǎn)品質(zhì)量與尺寸的比在區(qū)間（${\frac{e}{9}$，$\frac{e}{7}}$）內(nèi)時(shí)為優(yōu)等品．現(xiàn)從抽取的6件合格產(chǎn)品中再任選3件，記ξ為取到優(yōu)等品的件數(shù)，試求隨機(jī)變量ξ的分布列和期望．
附：對于一組數(shù)據(jù)（v₁，u₁），（v₂，u₂），…，（v_n，u_n），其回歸直線u=α+βv的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為$\widehat{β}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{v}_{i}{μ}_{i}-n\overline{v}•\overline{u}}{\sum_{i=1}^{n}{v}_{i}^{2}-n{\overline{v}}^{2}}$，$\widehat{α}$=$\overline{u}$-$\widehat{β}$$\overline{v}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）對y=ax^b（a，b＞0）兩邊取科學(xué)對數(shù)得lny=blnx+lna，令v_i=lnx_i，u_i=lny_i得u=bv+lna，由最小二乘法求得系數(shù)$\widehat$及$\widehat{a}$，即可求得y關(guān)于x的回歸方程；
（Ⅱ）由題意求得優(yōu)等品的個(gè)數(shù)，求得隨機(jī)變量ξ取值，分別求得P（ξ=0），P（ξ=1），P（ξ=2）及P（ξ=3），求得其分布列和數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（Ⅰ）對y=ax^b（a，b＞0）兩邊取科學(xué)對數(shù)得lny=blnx+lna，
令v_i=lnx_i，u_i=lny_i得u=bv+lna，
由$\widehatb=\frac{{\sum_{i=1}^n{{v_i}{u_i}-n\overline v\overline u}}}{{\sum_{i=1}^n{{v_i}^2-n{{\overline v}^2}}}}$=$\frac{1}{2}$，
ln$\widehat{a}$=1，$\widehat{a}$=e，
故所求回歸方程為$y=e{x^{\frac{1}{2}}}$．
（Ⅱ）由$\frac{y}{x}=\frac{{e{x^{\frac{1}{2}}}}}{x}=\frac{e}{{{x^{\frac{1}{2}}}}}∈（{\frac{e}{9}，\frac{e}{7}}）⇒49＜x＜81$，
x=58，68，78，即優(yōu)等品有3件，
ξ的可能取值是0，1，2，3，且$P（{ξ=0}）=\frac{C_3^0•C_3^3}{C_6^3}=\frac{1}{20}$，
$P（{ξ=1}）=\frac{C_3^1•C_3^2}{C_6^3}=\frac{9}{20}$，
$P（{ξ=2}）=\frac{C_3^2•C_3^1}{C_6^3}=\frac{9}{20}$，
$P（{ξ=3}）=\frac{C_3^3•C_3^0}{C_6^3}=\frac{1}{20}$．
其分布列為：

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{1}{20}$	$\frac{9}{20}$	$\frac{9}{20}$	$\frac{1}{20}$

∴$Eξ=0×\frac{1}{20}+1×\frac{9}{20}+2×\frac{9}{20}+3×\frac{1}{20}=\frac{3}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查求線性回歸方程，樣本估計(jì)總體、離散型隨機(jī)變量的分布列和期望等知識，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意排列組合知識的合理運(yùn)用，屬于中檔題．