Question

已知f（x）=x²+ax+3
（1）當(dāng)x∈R時，f（x）≥a恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）當(dāng)x∈（-∞，1）時，f（x）≥a恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)恒成立問題,二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：綜合題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）依題意知，x²+ax+3-a≥0對任意x∈R恒成立，由△≤0即可求得實數(shù)a的取值范圍；
（2）方法一：設(shè)g（x）=x²+ax+3-a，依題意知△≤0或

△＞0 - a 2 ＞1 g(1)≥0

，分別解之即可；
方法二：依題意知a≤

x2+3

1-x

對任意x∈（-∞，1）恒成立，而

x2+3

1-x

=（1-x）+

4

1-x

-2，利用基本不等式即可求得實數(shù)a的范圍．

解答： 解：（1）∵x²+ax+3-a≥0對任意x∈R恒成立，
∴△=a²-4（3-a）≤0，解得-6≤a≤2，
∴a的范圍是{a|-6≤a≤2}．
（2）∵x²+ax+3-a≥0對任意x∈（-∞，1）恒成立，
方法一：設(shè)g（x）=x²+ax+3-a，則△≤0或

△＞0 - a 2 ＞1 g(1)≥0

，
即：a²-4（3-a）≤0或

a2-4(3-a)＞0 - a 2 ＞1 1+a+3-a≥0

，
解得：-6≤a≤2或a＜-6⇒a≤2．
∴實數(shù)a的范圍是{a|a≤2}．
方法二：即a≤

x2+3

1-x

對任意x∈（-∞，1）恒成立，
∵1-x＞0，
而

x2+3

1-x

=（1-x）+

4

1-x

-2≥2

4

-2=2，當(dāng)且僅當(dāng)x=-1時取等號．
∴實數(shù)a的范圍是{a|a≤2}．

點評：本題考查函數(shù)恒成立問題，著重考查等價轉(zhuǎn)化思想與構(gòu)造函數(shù)思想、考查基本不等式的應(yīng)用與運算求解能力，屬于難題．